8.9切线长定理练习
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8.9切线长定理 练习
A组
一、选择题
1、如图，直线AB、CD、BC分别与⊙??相切于E、F、G，且????//????，若????=6????，????=8????，则????+????的长等于(????) A. 13 B. 12 C. 11 D. 10
2、如图，一把直尺，60°的直角三角板和光盘如图摆放，A为60°角与直尺交点，????=3，则光盘的直径是(????) A. 3 B. 3
3
C. 6 D. 6
3
3、如图，PA、PB、CD分别切⊙??于点A、B、E，CD分别交PA、PB于点C、D，下列关系：①????=????；②∠??????=∠??????；③∠??????和∠??????互补；④△??????的周长是线段PB长度的2倍．则其中说法正确的有(????)
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
二、填空题
4、如图，⊙??的半径为1，PA，PB是⊙??的两条切线，切点分别为A，??.连某某OA，OB，AB，PO，若∠??????=60°，则△??????的周长为______．
5、如图，AD、AE、CB均为⊙??的切线，D，E，F分别是切点，????=8，则△??????的周长为______ ． 6、如图，已知∠??????=45°，M是OB上的一点，以M为圆心、2?????为半径作⊙??.若点M在OB上运动，则当????=__________cm时，⊙??与OA相切． 7、如图，EB，EC是⊙??的两条切线，与⊙??相切于B，C两点，点A，D在圆上．若∠??=46°，∠??????=32°，则∠??的度数是______ °.
三、解答题
8、如图，在????△??????中，∠??=90°，????=6，????=8，⊙??是△??????的内切圆，切点分别为D，E，F．???求：(1)????的长；(2)⊙??的面积．
9、如图，????△??????，∠??=
90
°
，点D为AB上的一点，以AD为直径的⊙??与BC相切于点E，连某某AE． (1)求证：AE平分∠??????；
(2)若????=8，????=4，求AD的长．
如图，PA、PB是⊙??的切线，CD切⊙??于点E，△??????的周长为12，∠??????=60°.求：(1)????的长；(2)∠??????的度数．
B卷
11、如图，????△??????中，∠??????=
90
°
，以BC为直径的⊙??交AB于E，????⊥????交⊙??于D，DE交BC于F，点P为CB延长线上的一点且????=????.延长PE交AC于G，小华得出3个结论：?①????=????;?②????=????;?③????//????.其中正确的有
12、如图所示，已知∠??????=60°，&
??
1
与∠??????的两边都相切，沿??
??
1
方向做&
??
2
与∠??????的两边相切，且与&
??
1
外切，再作&
??
3
与∠??????的两边相切，且与&
??
2
外切，…，如此作下去，&
??
??
与∠??????的两边相切，且与&
??
???1
外切，设&
??
??
的半径为
??
??
，已知
??
1
=1，则
??
2016
= ______ ．
13、如下图，直线AB、BC、CD分别与O相切于??.???.???，且????//????，????=6????，????=8????.求： (1)∠??????的度数；(2)????+????的长；?(3)圆的半径。
14、如图，在Rt△ABC中，∠??????=
90
°
，BD是角平分线，以点D为圆心，DA为半径的⊙??与AC相交于点E (1)求证：BC是⊙??的切线； (2)若AB=5，BC=13，求CE的长．
15、如图，D为⊙??上一点，点C在直径BA的延长线上，且． (1)判断直线CD与⊙??的位置关系，并说明理由． (2)过点B作的⊙??切线交CD的延长线于点E，若????=12，????=5，求⊙??的半径长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】 此题主要是考查了切线长定理.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，且圆心和这点的连线平分两条切线的夹角． 根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明∠??????=90°，再根据勾股定理即可求得BC的长，再结合切线长定理即可求解． 【解答】 解：∵????//????， ∴∠??????+∠??????=180°， ∵????、BC，AB分别与⊙??相切于G、F、E， ∴∠??????=
1
2
∠??????，∠??????=
1
2
∠??????，????=????，????=????， ∴∠??????+∠??????=90°， ∴∠??????=90°， ∴????=
??
??
2
+??
??
2
=10， ∴????+????=10(????)． 故选D． 2.【答案】D
【解析】解：设三角板与圆的切点为C，连某某OA、OB， 由切线长定理知????=????=3，OA平分∠??????， ∴∠??????=60°， 在????△??????中，????=??????????∠??????=3
3
， ∴光盘的直径为6
3
， 故选：D． 设三角板与圆的切点为C，连某某OA、OB，由切线长定理得出????=????=3、∠??????=60°，根据????=??????????∠??????可得答案． 本题主要考查切线的性质，解题的关键是掌握切线长定理和解直角三角形的应用． 3.【答案】D
【解析】解：∵????、PB是⊙??的切线， ∴????=????，∠??????=∠??????，故①②正确； ∵????、PB、CD是⊙??的切线， ∴????=????，????=????，∠??????=∠??????=90°， ∴∠??????+∠??????=360°?∠???????∠??????=180°， ∴∠??????和∠??????互补，故③正确； ∴△??????的周长=????+????+????+????=????+????+????+????=????+????=2????，故④正确． 故选：D． 根据切线的性质和切线长定理，可判断①②正确；利用四边形的内角和=360°，可判断③正确；将△??????的周长转化为????+????，可判断④正确． 本题考查了切线的性质及切线长定理，解答本题的关键是熟练掌握：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角． 4.【答案】D
【解析】【分析】本题考查了切线的判定与性质、切线长定理、圆周角定理、三角形中位线的性质以及等腰三角形的性质，此题综合性较强，难度较大，注意掌握辅助线的作法． 连某某OE，CE，由????=????，????=????易得∠??????=∠??????，∠??????=∠??????，然后得出????⊥????， 即可得出?①正确；又BC是直径可得∠??????=
90
°
，∠??????=
90
°
，得出????=????，然后得出∠??=∠??????，即可判断出故?②正确；根据????=????，????=????=????，判断出中位线，即可得出?③正确． 【解答】
解：连某某OE，CE， ∵????=????，????=????，∴∠??????=∠??????，∠??????=∠??????， ∵????⊥????，∴∠??????+∠??????=
90
°
， ∵∠??????=∠??????，∴∠??????+∠??????=
90
°
， ∴∠??????+∠??????=
90
°
，即????⊥????， ∴????为⊙??的切线， 由已知得GC为⊙??的切线， ∴????=????，故?①正确; ∵????是直径，∴∠??????=
90
°
，∴∠??????=
90
°
， ∵????=????，∴∠??????=∠??????， ∵∠??????+∠??=
90
°
，∠??????+∠??????=
90
°
， ∴∠??=∠??????，∴????=????，故?②正确; ∵????=????，????=????=????， ∴????是△??????的中位线，∴????//????，故?③正确． 故选D．
5.【答案】3
3
【解析】【分析】 本题考查了切线长定理，切线的性质，锐角三角函数定义，等边三角形的判定，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 根据切线的性质得到????⊥????，????⊥????，OP平分∠??????，????=????，推出△??????是等边三角形，根据锐角三角函数定义得到????=
3
????=
3
，于是得到结论． 【解答】 解：∵????、PB是半径为1的⊙??的两条切线， ∴????⊥????，????⊥????，OP平分∠??????，????=????， 而∠??????=60°， ∴∠??????=30°，△??????是等边三角形， ∴在????△??????中，， ∴△??????的周长=3????=3
3
． 故答案为3
3
． 6.【答案】16
【解析】【分析】 本题主要考查了切线长定理，熟练掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等；此题运用线段间的等量代换将周长转化为一条线段长的2倍，得出结论.根据切线长定理得：????=????，????=????，????=????，再由△??????的周长代入可求得结论． 【解答】 解：∵????、AE、CB均为⊙??的切线，D，E，F分别是切点， ∴????=????，????=????，????=????， ∵△??????的周长=????+????+????=????+????+????+????， ∴△??????的周长=????+????+????+????=????+????=2????， ∵????=8， ∴△??????的周长为16． 故答案为16． 7.【答案】44
【解析】解：∵四边形ABCD是⊙??的外切四边形， ∴????+????=????+????=22， ∴四边形ABCD的周长=????+????+????+????=44， 故答案为：44． 根据圆外切四边形的对边之和相等求出????+????，根据四边形的周长公式计算即可． 本题考查的是切线长定理，掌握圆外切四边形的对边之和相等是解题的关键． 8.【答案】2
2
【解析】【分析】 连某某MN，N为切点，根据????⊥????可知∠??????=45°，2cm为半径，利用等腰直角三角形中斜边等于直角边的
2
倍解答． 【解答】 解：连某某MN，∵????⊥????，∠??????=45°，2cm为半径， ∴????=
2
????=2
2
????． 所以当????=2
2
时，⊙??与OA相切． 故答案为2
2
． 9.【答案】99
【解析】【分析】 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；从圆外一点引圆的切线，切线长相等．也考查了圆内接四边形的性质． 先根据切线长定理得到????=????，则∠??????=∠??????，于是可根据三角形内角和定理可计算出∠??????=
1
2
(180°?∠??)=67°，接着利用平角的定义可计算出∠??????=180°?∠???????∠??????=81°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠??的度数． 【解答】 解：∵????，EC是⊙??的两条切线， ∴????=????， ∴∠??????=∠??????， ∴∠??????=
1
2
(180°?∠??)=
1
2
×(180°?46°)=67°， ∴∠??????=180°?∠???????∠??????=180°?67°?32°=81°， ∵四边形ABCD为⊙??的内接四边形，对角互补， ∴∠??+∠??????=180°， ∴∠??=180°?81°=99°． 故答案为99． 10.【答案】
3
2015
【解析】解：设⊙
??
1
、⊙
??
2
、⊙
??
3
与边OA的切点为G、M、N， 连某某
??
1
G、
??
2
??、
??
3
??， 则
??
1
??⊥????、
??
2
??⊥????、
??
3
??⊥????， ∴
??
1
??//
??
2
??//
??
3
??， ∵⊙
??
1
与∠??????的两边都相切，∠??????=60°， ∴∠????
??
1
=∠????
??
1
=30°， ∵
??
1
??=
??
1
=1， ∴??
??
1
=2， ∵
??
1
??//
??
2
??， ∴△??
??
1
??∽△??
??
2
??， ∴
??
1
??
??
2
??
=
??
??
1
??
??
2
， ∴
1
??
2
=
2
2+1+
??
2
， ∴
??
2
=3， 同理得：
3
??
3
=
6
6+3+
??
3
， ∴
??
3
=9=
3
2
， … ∴
??
2016
=
3
2015
， 故答案为：
3
2015
． 作辅助线，构建直角三角形，根据相似三角形的性质分别求半径
??
2
、
??
3
、…、并找规律，得出结论． 本题考查了切线长定理和切线的性质，本题可以看作是从圆外一点引圆的两条切线，可以得它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角．根据此结论与相似的判定定理结合，利用相似三角形的性质依次求圆的半径即可． 11.【答案】解：(1)连某某OF；根据切线长定理得：????=????，????=????，∠??????=∠??????，∠??????=∠??????； ∵????//????， ∴∠??????+∠??????=180°， ∴∠??????+∠??????=90°， ∴∠??????=90°； (2)由(1)知，∠??????=90°． ∵????=6????，????=8????， ∴由勾股定理得到：????=
??
??
2
+??
??
2
=10????， ∴????+????=????=10????． (3)∵????⊥????， ∴????=
?????????
????
=4.8????．
【解析】此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．注意：求直角三角形斜边上的高时，可以借助直角三角形的面积进行计算． (1)根据切线的性质得到OB平分∠??????，OC平分∠??????，????⊥????，再根据平行线的性质得∠??????+∠??????=180°，则有∠??????+∠??????=90°，即∠??????=90°； (2)由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到????+????的长； (3)最后由三角形面积公式即可求得OF的长． 12.【答案】解：(1)∵????，CE都是圆O的切线， ∴????=????， 同理????=????，????=????， ∴三角形PDE的周长=????+????+????=????+????+????+????=????+????=2????=12， 即PA的长为6； (2)∵∠??=60°， ∴∠??????+∠??????=120°， ∴∠??????+∠??????=360°?120°=240°， ∵????，CE是圆O的切线， ∴∠??????=∠??????=
1
2
∠??????； 同理：∠??????=
1
2
∠??????， ∴∠??????+∠??????=
1
2
(∠??????+∠??????)=120°， ∴∠??????=180°?120°=60°．
【解析】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长． (1)可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形PCD的周长等于????+????的结论，即可求出PA的长； (2)根据三角形的内角和求出∠??????和∠??????的度数和，然后根据切线长定理，得出∠??????和∠??????的度数和，再根据三角形的内角和求出∠??????的度数． 13.【答案】解：(1)连某某OF；根据切线长定理得：????=????，????=????，∠??????=∠??????，∠??????=∠??????； ∵????//????， ∴∠??????+∠??????=180°， ∴∠??????+∠??????=90°， ∴∠??????=90°； (2)由(1)知，∠??????=90°． ∵????=6????，????=8????， ∴由勾股定理得到：????=
??
??
2
+??
??
2
=10????， ∴????+????=????=10????． (3)∵????⊥????， ∴????=
?????????
????
=4.8????．
【解析】(1)根据切线的性质得到OB平分∠??????，OC平分∠??????，????⊥????，再根据平行线的性质得∠??????+∠??????=180°，则有∠??????+∠??????=90°，即∠??????=90°； (2)由勾股定理可求得BC的长，进而由切线长定理即可得到????+????的长； (3)最后由三角形面积公式即可求得OF的长． 此题主要是综合运用了切线长定理和切线的性质定理．注意：求直角三角形斜边上的高时，可以借助直角三角形的面积进行计算． 14.【答案】解：(1)因为????△??????的内切圆⊙??，切点分别为点D、E、F， 连某某OD，OE，OF， 则????⊥????,?????⊥????,????⊥????， 设半径为r， ∵∠??=90°，????=4，????=3， ∴????=5， ∴????=????=3???，????=????=4???， ∴4???+3???=5， ∴??=1； (2)如图，△??????的内切圆分别与AC、BC相切于点E、F，????=5，????=7， 设△??????的内切圆半径为x，则????=??． 根据切线长定理，得????=????=5，????=????=7，????=????=??，????=5+??，????=7+??， 根据勾股定理得，(??+5
)
2
+(??+7
)
2
=(5+7
)
2
， 整理，得
??
2
+12??=35， 所以
??
△??????
=
1
2
?????????=
1
2
(5+??)×(7+??)=
1
2
(
??
2
+12??+35)=
1
2
×(35+35)=35； (3)????．
【解析】本题考查三角形的面积，切线长定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． (1)首先求出AB的长，再连圆心和各切点，利用切线长定理用半径表示BD和A 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ????=8???，????=????=?????????=6???， ∴????+????=8???+6???=10， 解得??=2 ∴????=2； (2)∵⊙??是△??????的内切圆，切点为D，E，F ∴????⊥????，????⊥????， ∴∠??????=∠??????=90°， 又∵∠??=90°， ∴∠??????=∠??????=∠??=90°， ∴四边形CFOE是矩形， 又∵????=???? ∴四边形CFOE是正方形 ∴????=????=2 ∴
??
⊙??
=??
??
2
=??·
2
2
=4??．
【解析】本题主要考查了三角形的内切圆的性质，切线长定理的运用，勾股定理的运用，正确得出四边形ECFO为正方形是解题关键． (1)先由勾股定理求得AB的长，然后根据切线长定理得到????=????，????=????，????=????，然后可设????=????=??，从而得到????=8???，????=6???，再根据????=10可得方程解之可得x的值，即可得CE的值； (2)先证明四边形CFOE是正方形，然后可得圆的半径，从而可得圆的面积．
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