《直线和圆的位置关系（3）》名师教案
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24.2.2 直线和圆的位置关系
切线长定理和三角形内切圆
一、教学目标
（一）学习目标
1.了解切线长定义，切线长定理，并进行有关计算。
2.会作三角形内切圆并理解作图原理。
3.掌握三角形内切圆、内心的概念及性质，利用性质进行推理论证、计算。
（二）学习重点
1.切线长定理及其应用。
2.尺规作图作三角形内切圆。
3.三角形内心性质。
（三）学习难点
1.运用切线长定理进行有关计算。
2.尺规作图作三角形内切圆。
3.运用三角形内心性质进行有关计算、证明。
二、教学设计
（一）课前设计
1.预习任务
（1）切线长定义：在经过圆外一点的切线上，这一点和切点间的线段叫做这点到圆的切线长。
（2）切线长定理：过圆外一点有两条圆的切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线，平分两条切线的夹角。
（3）三角形的内切圆定义：与三角形各边都 相切 的圆叫做三角形的内切圆．内切圆的圆心是三角形三条 角平分线 的交点，叫做三角形的 内心 。
2.预习自测
（1）如图，从圆O外一点P引圆O的两条切线PA，PB，切点分别为A，B．如果∠APB=60°，PA=8，那么弦AB的长是（ ）
A.4 B.8 C. D.
【知识点】圆的切线长定理；等边三角形判定与性质
【解题过程】解：∵PA，PB是圆O的两条切线
∴PA=PB
∵∠APB=60°
∴△PAB是等边三角形
∵PA=8
∴AB=PA=8
故选B
【思路点拨】由圆的切线长定理得PA=PB，又∠APB=60°，所以△PAB是等边三角形。
【答案】B
2.如图，PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB=50°，则∠AOP= 度．
【知识点】切线长定理、直角三角形两锐角互余
【解题过程】解：∵PA、PB分别切⊙O于A、B，∠APB=50°
∴∠APO=∠APB=25°，∠OAP=90°
∴∠AOP=90°㧟25°=65°
【思路点拨】根据切线长定理、切线的性质定理得到∠OAP=900，再根据直角三角形的两个锐角互余进行求解。
【答案】65°
(二)课堂设计
1.知识回顾
（1）切线的判定定理：过半径外端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
（2）切线性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.
（3）角平分线性质：角平分线上的点到角两边的距离相等.
2.问题探究
探究一：切线长定义
●活动① （以旧引新）
抢答：议一议
老师问：当点P在⊙O内时，过点P能否画出⊙O的切线？
学生答：不能。
老师问：当点P在⊙O上时，过点P能否画出O的切线？有几条？
学生答：能、有且仅有1条
老师问：当点P在⊙O外时，过点P能否画出⊙O的切线？有几条？请你尝试着画一画。
学生答：能，两条
老师：如图：过⊙O外一点P能画出PA，PB两条切线，点A、B为切点;我们把圆外这个点P和切点A、B之间的线段PA、PB的长，叫做点P到⊙O切线长
【设计意图】通过动手操作，让学生从直观上了解点在圆上和点在圆外两种情况下圆的切线的存在性和数量，引出切线长定义。
知识点归纳
过圆外一点，作圆的切线，这个点和切点之间的线段长叫做这个点到圆的切线长。
注意：（1）切线和切线长的区别：切线是一条直线，切线长是线段的长
切线的条数：过一点做一个圆的切线，
①点在圆上，有且只有一条经过该点的切线；
②点在圆外：有两条切线。
探究二：线长定理
●活动①大胆操作，探究新知
老师问：如图：PA、PB是圆⊙O的两条切线，切点分别为A、B,在半透明的纸上画出这个图形，并沿着直线PO将图形对折，图中的PA与 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 CF=a-r,再利用AF+CF=b建立等量关系求证。
结论：任意直角三角形内切圆的半径=两直角边之和与斜边之差的一半。
3. 课堂总结
知识梳理：
1．切线长定义：过外一点，作圆的切线，这个点和切点之间的线段长叫做这个点到圆的切线长。
注意：切线和切线长的区别：切线是一条直线，切线长是线段的长
2、切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
几何语言：
∵PA、PB是圆⊙O的两条切线，切点分别为A、B
∴PA=PB ,∠APO=∠BPO
3.与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心。
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