利用常数分离法解决一类恒成立问题教案
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利用常数分离法解决一类恒成立问题
教学目标：
1．会求三次函数的导数，如，则 ；
2．会求函数形如在给定区间上的最值；
3．会用基本不等式：.
教学重、难点：
重点：利用常数分离法解决含一个参数的二次函数恒成立问题；
难点：如何解决形如：或的问题.
基础自测:
引例.已知是上的单调递增函数，则的取值范围是（ ）
设置说明：
(1)已知单调性可得出，学生的可能错误是，又是导函数在上恒大于等于O，也是恒成立问题）
(2)通过学生对在上恒成立问题的解法讨论，学生的可能解法有:
解法2：记，求其最小值大于等于0即可。可以通过配方法或求导来求出在上的最小值.
（3）通过对以上解法的更正（也许学生讨论会有不周到之处），追问学生是否有不对a进行讨论的方法？可以让学生回答或教师得出本堂课要学习的方法: 常数分离法。
（4）通过对以上这几种方法的对比，得出常数分离法的优点，引起学生的学习兴趣。
（5）对该引例进行小结：
①若在上递增在上恒成立；
②使用基本不等式需满足：“一正、二定、三相等”。
典例剖析：
例1．已知函数的导函数为，.
（1）若对一切恒成立，求实数的取值范围；
（2）若对满足的一切的值，都有，求实数的取值范围.
解：（1）
即对一切恒成立
学生回答：解法1：即对一切恒成立
记在上恒成立
有在上恒大于0，
即在上单调递增
可能的陷阱：学生会回答用基本不等式去解决，利用基本不等式解决时要注意适用的条件：“一正、二定、三相等、四检验”会发现取不到等号。
另解：由几何画析给出的图象，知在上为增函数，所以及，
变式1：若对一切恒成立，求实数的取值范围；
解：即对一切恒成立
记当且仅当即时，于
另解：由几何画析给出的图象，知在上为增函数，在上为减函数，所以及，
变式2：若对一切恒成立，求实数的取值范围；
解：若则恒成立，
若同变式1
若则
综上所述：
（学生思考回答，若有错误由学生纠正，在下结论时，也许学生会回答将以上三种情况用集合并起来，这里要重点指出，应该是用集合交起来）
（3）即对一切恒成立
同变式2的解法：
若，则不满足
若，则对一切恒成立
若，则对一切恒成立
综上所述：
另解：可以用改换变量的方法去考虑，这样会更加简便，即把看作关于a的一次函数，这样就得出：
三、随堂练习：
已知函数,.若对任意的都有，求实数的取值范围.
解：即
若，则恒成立，
若，则，，
综上所述：
四、课堂小结
1．用分离常数法转化为形如：形如：或的问题；
2．可能出现的错误：（1）变形 （2）基本不等式
五、课后作业：
设函数，其中常数.
（1）当时，求函数的单调区间；
（2）若时，恒成立，求实数的取值范围。
教后反思：
设计本堂课的出发点有两个：一是要与课题研究相关，体现陷阱导学稿的作用，二是要与高三现阶段的二轮复习相呼应。参考了这两年的高考样卷与一些模拟卷，大题中经常会出现恒成立问题，学生对这类问题的解决能力还有待加强。因此，设计了本节课的主线是以三次函数为研究对象，经过求导变为二次函数的恒成立问题，再用分离常数法转化为形如 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ∴.
3.用分离参数法解决不等式恒成立问题
例6 已知不等式对满足的所有都成立，求的取值范围.
解 原不等式可化为，此不等式对恒成立.
构造函数，，其图像是一条线段.
根据题意有，即.解得.
4.用分离参数法解决不等式有解问题
例7 如果关于的不等式的解集不是空集，求参数的取值范围.
解 原不等式可化为.
∵原不等式的解集不是空集，∴.
又，当且仅当时，等号成立，∴，即.
5.用分离参数法求定点的坐标
例8 已知直线：，，求证：直线恒过定点.
解 直线的方程可化为.
设直线恒过定点.由，得.
∴直线恒过定点.
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