3、含参不等式恒成立问题知识点与典型例题（教师版）
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含参不等式恒成立问题知识点与典型例题
三个两次之间的关系
含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：
“含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来，其以覆盖知识点多，综合性强，解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面，在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力，培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。
一、判别式法
若所求问题可转化为二次不等式，则可考虑应用判别式法解题。一般地，对于二次函数,有
1）对恒成立;
2）对恒成立
例1：若不等式的解集是R，求m的范围。
解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数m，所以要讨论m-1是否是0。
（1）当m-1=0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；
（2）时，只需，所以，。
二、最值法
将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法，其一般类型有：
1）恒成立
2）恒成立
例2、若时，不等式恒成立，求的取值范围。
解：设，则问题转化为当时，的最小值非负。
当即：时， 又所以不存在；
当即：时， 又
当 即：时， 又
综上所得：
三、分离变量法
若所给的不等式能通过恒等变形使参数与主元分离于不等式两端，从而问题转化为求主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰，操作性更强。一般地有：
1）恒成立
2）恒成立
例3、已知时，不等式恒成立，求的取值范围。
例11解：令， 所以原不等式可化为：，
要使上式在上恒成立，只须求出在上的最小值即可。
四、变换主元法
处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换位”思考，往往会使问题降次、简化。
例4．对任意，不等式恒成立，求的取值范围。
分析：题中的不等式是关于的一元二次不等式，但若把看成主元，则问题可转化为一次不等式在上恒成立的问题。
解：令，则原问题转化为恒成立（）。
当时，可得，不合题意。
当时，应有解某某。
故的取值范围为。
注：一般地，一次函数在上恒有的充要条件为。
五、数形结合法
数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”，这充分说明了数形结合思想的妙处，在不等式恒成立问题中它同样起着重要作用。我们知道，函数图象和不等式有着密切的联系：
1）函数图象恒在函数图象上方；
2）函数图象恒在函数图象下上方。
例5．设 , ,
若恒有成立,求实数的取值范围.
分析：在同一直角坐标系中作出及
的图象 如图所示，的图象是半圆
的图象是
平行的直线系。
要使恒成立，
则圆心到直线的距离
满足
针对提高练习
1．已知不等式.
（1）当时，解此不等式；
（2）若此不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先将代入不等式中,再根据根的判别式 ,与轴无交点,则解集为.
（2）把已知的不等式变形为二次不等 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 【答案】（1）；（2）存在；.
【分析】
（1）根据题意，分析可得的对称轴为，结合的值设，又由，可得a的值，即可得函数的解析式；
（2）根据题意，假设存在存在实数m，可得在上恒成立，设，结合二次函数的性质可得，解可得m的取值范围，即可得答案．
【详解】
（1）因为，所以二次函数的图象的对称轴为，
又，故可设二次函数，
又因为，所以，解得：，
所以；
（2）假设存在实数，使得二次函数在上的图象恒在直线的上方，等价于不等式，
即在上恒成立，
令，即等价于，
解得：，
所以实数的取值范围为.
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