解斜三角形知识分析
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解斜三角形
代 银
（*_**学，安徽 232001）
本单元知识网络:
作为历年高考考查的重点,本单元运用平面向量的数量积推导出三角形的正弦定理和余弦定理，连同三角形、三角函数的其它知识作为工具，比较系统地研究了斜三角形求解这个课题.
2.本单元重、难点分析:
本单元的重点:
(1) 正弦定理的推导、理解、变形与灵活应用，以及在运用正弦定理时可能会带来的三角形解的讨论;
(2) 正、余弦定理的推导、理解、变形与灵活应用；
(3) 三角形面积计算公式的理解与应用;
(4) 四种角（仰角、俯角、方向角、方位角）的概念的正确理解;
(5) 运用解斜三角形知识求解实际应用问题.
本单元的难点:
运用向量知识推导正、余弦定理；
“已知两边和其中一边的对角”在运用正弦定理求解三角
形时,对三角形解的讨论；
（3）掌握正、余弦定理公式及变形式的特点,结合已知条件灵活解题.
(4) 将有关实际应用问题正确抽象为解斜三角形的数学模型.
本单元以正弦定理、余弦定理、三角形面积公式为基础，以变换、思维运算为主体，以灵活运用为目的，学习时应熟练掌握各定理、公式的特点，掌握一些化归和变换思想.
3.典型例题选讲:
例1. 在中, ,则的形状为( ).
.等边三角形 .等腰三角形 .直角三角形 .等腰三角形或直角三角形
分析: 对三角形形状的判定可以从边长关系或者从三角形内角关系上入手.由题设条件,直观上我们可以运用余弦定理的变形式将已知条件化归为三角形边长关系;另外,已知条件中边长的“齐某某”之比的特点，使得我们还可以运用正弦定理化边某某寻求内角关系.
解法1:(由余弦定理化角为边)
,
化简得:
或
为等腰三角形或直角三角形.
解法2:(由正弦定理化边某某)
,
即
或
即 或
为等腰三角形或直角三角形.
说明: (1)对三角形形状的判定一直是高考经常考查的知识点.求解此类问题,我们要明确两种判定途径(边长关系、内角关系)，从已知条件的边角关系特点与正、余弦定理公式及变形式的特点寻求突破口. (2)另外解法1中,在判断三角形形状的解题过程中,等式两边不能随便约去一个因式,否则会丢掉一种可能的情况,这点同学们经常忽略,应给予重视.
例2. 在中,若,,,求的面积.
分析:此问题属于“已知两边及一边的对角，求解三角形”问题.常用作法有以下几种处理方式.
解法1.(教材图解法)
由正弦定理,
, 又
三角形有两解
当为锐角时, 则
当为钝角时, 则
解法2.(余弦定理法)
由余弦定理,
,
又
代入得.
解法3.(函数图象法)
同解法1,
由正弦定理得
易知与
图象有两个交点
三角形有两解
(以下略)
解法4. 同解法1,由正弦定理得
,
又,
,可取或.
内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 比较①,②得: , 即
或 (舍)
代入中,得
.
20.解 (1)因为是该正三角形中心,
所以,
由正弦定理
,得
则
同理可求得.
(2)
因为,
所以当或时, 取得最大值
当时, 取得最小值.
21.解:在中,设,,易得,
(当且仅当时,等号成立)
又到的距离为10 ,设,则.
所以.
当,即时,等号成立.
所以
当且仅当时, 最短,其最短距离为km.
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