12.1常数项级数的概念与性质教案
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潍 坊 科 技 学 院 教 案
课程名称： 高 等 数 学 授课人：
课 题
常数项级数的概念与性质
课 时
2课时
教学目的与
要 求
理解无穷级数收敛与发散的概念，了解级数的基本性质。熟悉调和级数、等比级数敛散性条件。
教学重点与
难 点
教学重点：掌握数项级数的概念，数项级数的基本性质
教学难点：等比级数的敛散性，级数收敛的必要条件。
教
学
过
程
主 要 内 容 及 步 骤
备 注
常数项级数的概念与性质
组织教学
导入新课
新课讲授
常数项级数的基本概念
定义
例1
例2
数项级数的基本性质
性质1
性质2
性质3
性质4
性质5
例3
课堂小结
布置作业
授课效果
分析总结
第十一章 无穷级数
无穷级数是高等数学的一个重要组成部分，它是数列极限的一种新的表示形式，这种形式具有项的结构与加法运算相结合的特殊性，并且可以借助于数列极限的理论来研究它，把极限中的收敛和发散的概念发展的更加深入，随着判别级数收敛和发散的一系列定理的建立又促进极限理论的发展．另外，无穷级数在表示函数、研究函数的性质、计算函数值及求解微分方程等方面是不可缺少的工具．
第一节 常数项级数的概念及性质
组织教学
导入新课
问题提出：无穷级数的思想在算术中早已出现，如将化 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 （1）时级数成为
由于不存在，所以级数发散；
时级数成为
当为偶数时，；当为奇数时，。所以不存在，故级数发散；
（2）时部分和
时，，所以级数收敛，和为；
时，，所以级数发散。
综上所述，等比级数当时收敛，和为，当时发散。
二、数项级数的基本性质
性质1 若级数收敛，则级数也收敛，其中为不等于零的常数。
特别的：若，则。
性质2 若级数与级数收敛，则级数也收敛。
即若级数，，则。
性质3 一个级数增加或减少有限项，得到的新级数其收敛性不变。
注意 性质3中对于收敛的级数，增加或减少有限项在一般情况下其和要改变。
性质4 收敛级数加括号后所成的新级数仍收敛，且其和不变。
必须注意的是，收敛级数去掉括号以后所得的级数却未必收敛，例如，收敛的级数去掉括号以后却是发散的。但对于每一项都是非负数的级数来讲，加括号或去掉括号并不会改变它的敛散性。
性质5 （级数收敛的必要条件）设级数收敛，则当时，它的一般项必趋于，即
证明 级数收敛于，那么由其部分和的定义有：，于是
例3 判定级数的敛散性。
解 由于级数的一般项为，而，故级数发散。
课堂小结
思考题
1．级数共分哪两大类？它们之间的关系如何？
2．我们主要学习哪两种常数项级数与函数项级数？
3．对于级数，若是否一定收敛？
4．级数收敛的充要条件是什么？
布置作业
课后练习题P258第3题。
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