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分类讨论在相似形中的应用

在我们的几何题目中，有许多问题需要分类讨论，常因不会分类、分类不确切或讨论不全面发生漏解。只有全面掌握基础知识和经过严密思考，找准解题的切入点，才能使得出的结论不重复、不遗漏。下面就相似形中的几个问题加以说明。

例1. 已知两数4和8，试写出第三个数，使这三个数中，其中一个数是另外两个数的比例中项，则第三个数为_____________。

析：这是一道开放性题目，它需分几种情况讨论。不妨设第三个数为x，

由
可得
；

由
得
；

由
可得
。

故第三个数为2，或16，或
。

例2. 若
，求x的值。

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析：当MN∥BC时，△AMN∽△ABC，可得：

，即

故

当MN不平行于BC时，∠AMN＝∠C时，△AMN∽△ACB，可得：

，即
，得

故AN长为2，或

例5. 若正方形的四个顶点分别在直角三角形的三条边上，直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，则此正方形的边长为____________。

析：这是一道操作、设计型开放题，可分两种情况：（1）是正方形一角为直角三角形的直角时，如图2，由相似可得出：
；（2）是两个顶点在斜边上，如图3，由相似可得出：
。所以此正方形的边长为
，或
。

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