1高考真题练 解析版
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1立体几何 高考真题练
一. 单选题
1．【2020年全国1卷理科10】已知??,??,??为球??的球面上的三个点，⊙
??
??
为△??????的外接圆，若⊙
??
??
的面积为??π，????=????=????=??
??
??
，则球??的表面积为（ ）
A．????π B．????π C．????π D．????π
【解析】
设圆
??
??
半径为??，球的半径为??，依题意，
得??
??
??
=????,∴??=??，
由正弦定理可得????=??????????????°=??
??
，
∴??
??
??
=????=??
??
，根据圆截面性质??
??
??
⊥平面??????，
∴??
??
??
⊥
??
??
??,??=????=
??
??
??
??
+
??
??
??
??
=
??
??
??
??
+
??
??
=??，
∴球??的表面积??=????
??
??
=??????.
故选：A
/
2．【2019年新课标1理科12】已知三棱锥P㧟ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（ ）
A．8
6
π B．4
6
π C．2
6
π D．
6
π
【答案】解：如图，
/
由PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，可知三棱锥P㧟ABC为正三棱锥，
则顶点P在底面的射影O为底面三角形的中心，连接BO并延长，交AC于G，
则AC⊥BG，又PO⊥AC，PO∩BG＝O，可得AC⊥平面PBG，则PB⊥AC，
∵E，F分别是PA，AB的中点，∴EF∥PB，
又∠CEF＝90°，即EF⊥CE，∴PB⊥CE，得PB⊥平面PAC，
∴正三棱锥P㧟ABC的三条侧棱两两互相垂直，
把三棱锥补形为正方体，则正方体外接球即为三棱锥的外接球，
其直径为D=
??
??
2
+??
??
2
+??
??
2
=
6
．
半径为
6
2
，则球O的体积为
4
3
??×(
6
2
)
3
=
6
??．
故选：D．
3．【2017年新课标2理科10】已知直三棱柱ABC㧟A1B1C1中，∠ABC＝120°，AB＝2，BC＝CC1＝1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为（ ）
A．
3
2
B．
15
5
C．
10
5
D．
3
3
【答案】解：【解法一】如图所示，设M、N、P分别为AB，BB1和B1C1的中点，
则AB1、BC1夹角为MN和NP夹角或其补角
（因异面直线所成角为（0，
??
2
]），
可知MN=
1
2
AB1=
5
2
，
NP=
1
2
BC1=
2
2
；
作BC中点Q，则△PQM为直角三角形；
∵PQ＝1，MQ=
1
2
AC，
△ABC中，由余弦定理得
AC2＝AB2+BC2㧟2AB?BC?cos∠ABC
＝4+1㧟2×2×1×（?
1
2
）
＝7，
∴AC=
7
，
∴MQ=
7
2
；
在△MQP中，MP=
????
2
+????
2
=
11
2
；
在△PMN中，由余弦定理得
cos∠MNP=
????
2
+????
2
?????
2
2??????????
=
(
5
2
)
2
+(
2
2
)
2
?(
11
2
)
2
2×
5
2
×
2
2
=?
10
5
；
又异面直线所成角的范围是（0，
??
2
]，
∴AB1与BC1所成角的余弦值为
10
5
．
【解法二】如图所示，
/
补成四棱柱ABCD㧟A1B1C1D1，求∠BC1D即可；
BC1=
2
，BD=
2
2
+1
2
?2×2×1×??????60°
=
3
，
C1D=
5
，
∴
????
1
2
+BD2=
??
1
??
2
，
∴∠DBC1＝90°，
∴cos∠BC1D=
2
5
=
10
5
．
故选：C．
/
4．【2016年新课标1理科11】平面α过正方体ABCD㧟A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m、n所成角的正弦值为（ ）
A．
3
2
B．
2
2
C．
3
3
D．
1
3
【答案】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABA1B1＝n，
可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1＝60°．
则m、n所成角的正弦值为：
3
2
．
故选：A．
/
5．【2015年新课标1理科06】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高某某．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米某某为一个圆锥的四分之一），米某某底部的弧长为8尺，米某某的高为5尺，问米某某的体积和堆放的米某某为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（ ）
A．14斛 B．22斛 C．36斛 D．66斛
【答案】解：设圆锥的底面半径为r，则
??
2
r＝8，
解得r=
16
??
，
故米某某的体积为
1
4
×
1
3
×π×（
16
??
）2×5≈
320
9
，
∵1斛米的体积约为1.62立方，
∴
320
9
÷1.62≈22，
故选：B．
6．【2015年新课标2理科09】已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点，若三棱锥O㧟ABC体积的最大值为36，则球O的表面积为（ ）
A．36π B．64π C．144π D．256π
【答案】解：如图所示，当点C位于垂直于某某AOB的直径端点时，三棱锥O㧟ABC的体积最大，设球O的半径为R，此时VO㧟ABC＝VC㧟AOB=
1
3
×
1
2
×
??
2
×??=
1
6
??
3
=36，故R＝6，则球O的表面积为4πR2＝144π，
故选：C．
/
7．【2014年新课标2理科11】直三棱柱ABC㧟A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A．
1
10
B．
2
5
C．
30
10
D．
2
2
【答案】解：直三棱柱ABC㧟A1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，如图：BC的中点为O，连结ON，
????
=
∥
1
2
??
1
??
1
=????，则MN0B是平行四边形，BM与AN所成角就是∠ANO，
∵BC＝CA＝CC1，
设BC＝CA＝CC1＝2，∴CO＝1，AO=
5
，AN=
5
，MB=
??
1
??
2
+
????
1
2
=
(
2
)
2
+
2
2
=
6
，
在△ANO中，由余弦定理可得：cos∠ANO=
????
2
+
????
2
?
????
2
2?????????
=
6
2×
5
×
6
=
30
10
．
故选：C．
/
8．【2013年新课标1理科06】如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8cm，将一个球放在容器口，再向容器注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6cm，如不计容器的厚度，则球的体积为（ ）
A．
500??
3
??
??
3
B．
866??
3
??
??
3
C．
1372??
3
??
??
3
D．
2048??
3
??
??
3
【答案】解：设正方体上底面所在平面截球得小圆M，
则圆心M为正方体上底面正方形的中心．如图．
设球的半径为R，根据题意得球心到上底面的距离等于（R㧟2）cm，
而圆M的半径为4，由球的截面圆性质，得R2＝（R㧟2）2+42，
解出R＝5，
∴根据球的体积公式，该球的体积V=
4??
3
??
3
=
4??
3
×
5
3
=
500??
3
??
??
3
．
故选：A．
/
9．【2013年新课标2理科04】已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β．直线l满足l⊥m，l⊥n，l?α，l?β，则（ ）
A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β
C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l
【答案】解：由m⊥平面α，直线l满足l⊥m，且l?α，所以l∥α，
又n⊥平面β，l⊥n，l?β，所以l∥β．
由直线m，n为异面直线，且m⊥平面α，n⊥平面β，则α与β相交，否则，若α∥β则推出m∥n，
与m，n异面矛盾．
故α与β相交，且交线平行于l．
故选：D．
二. 填空题
10．【2020年全国1卷理科16】如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，????=????=
??
，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=______________.
【解析】
∵????⊥????，????=
??
，????=??，
由勾股定理得????=
??
??
??
+??
??
??
=??，
同理得????=
??
，∴????=????=
??
，
在△??????中，????=??，????=????=
??
，∠??????=
????
°
，
由余弦定理得??
??
??
=??
??
??
+??
??
??
??????????????????
????
°
=??+?????×??×
??
×
??
??
=??，
∴????=????=??，
在△??????中，????=??，????=
??
，????=??，
由余弦定理得??????∠??????=
??
??
??
+??
??
??
???
??
??
???????????
=
??+?????
??×??×??
=?
??
??
.
11．【2020年全国2卷理科16】设有下列四个命题：
p1：两两相交且不过同一点的三条直线必在同一平面内.
p2：过空间中任意三点有且仅有一个平面.
p3：若空间两条直线不相交，则这两条直线平行.
p4：若直线l?平面α，直线m⊥平面α，则m⊥l.
则下述命题中所有真命题的序号是__________.
①
??
??
∧
??
??
②
??
??
∧
??
??
③?
??
??
∨
??
??
④?
??
??
∨?
??
??
【解析】
对于命题
??
??
，可设
??
??
与
??
??
相交，这两条直线确定的平面为??；
若
??
??
与
??
??
相交，则交点??在平面??内，
同理，
??
??
与
??
??
的交点??也在平面??内，
/
所以，???????，即
??
??
???，命题
??
??
为真命题；
对于命题
??
??
，若三点共线，则过这三个点的平面有无数个，
命题
??
??
为假命题；
对于命题
??
??
，空间中两条直线相交、平行或异面，
命题
??
??
为假命题；
对于命题
??
??
，若直线??⊥平面??，
则??垂直于平面??内所有直线，
∵直线???平面??，∴直线??⊥直线??，
命题
??
??
为真命题.
综上可知，
??
??
∧
??
??
为真命题，
??
??
∧
??
??
为假命题，
?
??
??
∨
??
??
为真命题，?
??
??
∨?
??
??
为真命题.
故答案为：①③④.
12．【2020年全国3卷理科15】已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为_________．
【解析】
易知半径最大球为圆锥的内切球，球与圆锥内切时的轴截面如图所示，
其中????=??,????=????=??，且点M为BC边上的中点，
设内切圆的圆心为??，
/
由于????=
??
??
?
??
??
=??
??
，故
??
△??????
=
??
??
×??×??
??
=??
??
，
设内切圆半径为??，则：
??
△??????
=
??
△??????
+
??
△??????
+
??
△??????
=
??
??
×????×??+
??
??
×????×??+
??
??
×????×??
=
??
??
×
??+??+??
×??=??
??
，
解得：??=
??
??
，其体积：??=
??
??
??
??
??
=
??
??
??.
13．【2020年山东卷16】已知直四棱柱ABCD–A1B1C1D1的棱长均为2，∠BAD=60°．以
??
??
为球心，
??
为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________．
【解析】
如图：
/
取
??
??
??
??
的中点为??，??
??
??
的中点为??，??
??
??
的中点为??，
因为∠??????=60°，直四棱柱?????????
??
??
??
??
??
??
??
??
的棱长均为2，所以△
??
??
??
??
??
??
为等边三角形，所以
??
??
??=
??
，
??
??
??⊥
??
??
??
??
，
又四棱柱?????????
??
??
??
??
??
??
??
??
为直四棱柱，所以??
??
??
⊥平面，所以??
??
??
⊥
??
??
??
??
，
因为??
??
??
∩
??
??
??
??
=
??
??
，所以
??
??
??⊥侧面
??
??
??
??
????，
设??为侧面
??
??
??
??
????与球面的交线上的点，则
??
??
??⊥????，
因为球的半径为
??
，
??
??
??=
??
，所以|????|=
|
??
??
??
|
??
?|
??
??
??
|
??
=
?????
=
??
，
所以侧面
??
??
??
??
????与球面的交线上的点到??的距离为
??
，
因为|????|=|????|=
??
，所以侧面
??
??
??
??
????与球面的交线是扇形??????的弧
????
，
因为∠
??
??
????=∠
??
??
????=
??
??
，所以∠??????=
??
??
，
所以根据弧长公式可得
????
=
??
??
×
??
=
??
??
??.
14．【2018年新课标2理科16】已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为
7
8
，SA与圆锥底面所成角为45°，若△SAB的面积为5
15
，则该圆锥的侧面积为 ．
【答案】解：圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为
7
8
，可得sin∠ASB=
1?(
7
8
)
2
=
15
8
．
△SAB的面积为5
15
，
可得
1
2
??
??
2
sin∠ASB＝5
15
，即
1
2
??
??
2
×
15
8
=5
15
，即SA＝4
5
．
SA与圆锥底面所成角为45°，可得圆锥的底面半径为：
2
2
×4
5
=2
10
．
则该圆锥的侧面积：
1
2
×4
10
×4
5
π＝40
2
π．
15．【2017年新课标3理科16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：
①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；
②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；
③直线AB与a所成角的最小值为45°；
④直线AB与a所成角的最小值为60°；
其中正确的是 ．（填写所有正确结论的编号）
不妨设图中所示正方体边长为1，
故|AC|＝1，|AB|=
2
，
斜边AB以直线AC为旋转轴，则A点保持不变，
B点的运动轨迹是以C为圆心，1为半径的圆，
以C坐标原点，以CD为x轴，CB为y轴，CA为z轴，建立空间直角坐标系，
则D（1，0，0），A（0，0，1），直线a的方向单位向量
??
→
=（0，1，0），|
??
→
|＝1，
直线b的方向单位向量
??
→
=（1，0，0），|
??
→
|＝1，
设B点在运动过程中的坐标中的坐标B′（cosθ，sinθ，0），
其中θ为B′C与CD的夹角，θ∈[0，2π），
∴AB′在运动过程中的向量，
????′
→
=（cosθ，sinθ，㧟1），|
????′
→
|=
2
，
设
????′
→
与
??
→
所成夹角为α∈[0，
??
2
]，
则cosα=
|(?????????，?????????，1)?(0，1，0)|
|
??
→
|?|
????′
→
|
=
2
2
|sinθ|∈[0，
2
2
]，
∴α∈[
??
4
，
??
2
]，∴③正确，④错误．
设
????′
→
与
??
→
所成夹角为β∈[0，
??
2
]，
cosβ=
|
????′
→
?
??
→
|
|
????′
→
|?|
??
→
|
=
|(?????????，????????，1)?(1，0，0)|
|
??
→
|?|
????′
→
|
=
2
2
|cosθ|，
当
????′
→
与
??
→
夹角为60°时，即α=
??
3
，
|sinθ|=
2
????????=
2
??????
??
3
=
2
2
，
∵cos2θ+sin2θ＝1，∴cosβ=
2
2
|cosθ|=
1
2
，
∵β∈[0，
??
2
]，∴β=
??
3
，此时
????′
→
与
??
→
的夹角为60°，
∴②正确，①错误．
故答案为：②③．
/
16．【2016年新课标2理科14】α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．
②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．
③如果α∥β，m?α，那么m∥β．
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．
其中正确的命题是 （填序号）
【答案】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，不能得出α⊥β，故错误；
②如果n∥α，则存在直线l?α，使n∥l，由m⊥α，可得m⊥l，那么m⊥n．故正确；
③如果α∥β，m?α，那么m与β无公共点，则m∥β．故正确
④如果m∥n，α∥β，那么m，n与α所成的角和m，n与β所成的角均相等．故正确；
故答案为：②③④
三. 解答题
17．【2020年全国1卷理科18】如图，??为圆锥的顶点，??是圆锥底面的圆心，????为底面直径，????=????．△??????是底面的内接正三角形，??为????上一点，????=
??
??
????．
（1）证明：????⊥平面??????；（2）求二面角??????????的余弦值．
【解析】
（1）由题设，知△??????为等边三角形，设???? 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 PA，则NE∥平面PAB．
∵NE∩EM＝E，
∴平面NEM∥平面PAB，则MN∥平面PAB；
（2）解：在△AMC中，由AM＝2，AC＝3，cos∠MAC=
2
3
，得CM2＝AC2+AM2㧟2AC?AM?cos∠MAC=9+4?2×3×2×
2
3
=5．
∴AM2+MC2＝AC2，则AM⊥MC，
∵PA⊥底面ABCD，PA?平面PAD，
∴平面ABCD⊥平面PAD，且平面ABCD∩平面PAD＝AD，
∴CM⊥平面PAD，则平面PNM⊥平面PAD．
在平面PAD内，过A作AF⊥PM，交PM于F，连接NF，则∠ANF为直线AN与平面PMN所成角．
在Rt△PAC中，由N是PC的中点，得AN=
1
2
????=
1
2
??
??
2
+??
??
2
=
5
2
，
在Rt△PAM中，由PA?AM＝PM?AF，得AF=
?????????
????
=
4×2
4
2
+
2
2
=
4
5
5
，
∴sin∠??????=
????
????
=
4
5
5
5
2
=
8
5
25
．
∴直线AN与平面PMN所成角的正弦值为
8
5
25
．
/
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