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略说全等三角形解题方法

证明三角形全等的基本思路

在证明两个三角形全等时，选择三角形全等的五种方法（“SSS”，“SAS”，“ASA”，“AAS”，“HL”）中，至少有一组相等的边，因此在应用时要养成先找边的习惯。如果选择找到了一组对应边，再找第二组条件，若找到一组对应边则再找这两边的夹角用“SAS”或再找第三组对应边某某“SSS”；若找到一组角则需找另一组角（可能用“ASA”或“AAS”）或夹这个角的另一组对应边某某“SAS”；若是判定两个直角三角形全等则优先考虑“HL”。上述可归纳为：

证明三角形全等的方法

１、平移法构造全等三角形

例１如图１所示，四边形
中，
平分
，若
，
，求证：
。

分析：利用角平分线构造三角形，将
转移到
，而
与
互补，
，从而证得
。主要方法是：“线、角进行转移”。

证明：在
上截取
，

在
与
中，

∴
≌
（SAS）

∴
,
,

∵
,

∴
，

∴
,

∵
,

∴
.

２、翻折法构造全等三角形

例２如图２所示，已知
中，
，
，
平分
，求证：
。

证明：∵
平分
，将
沿
翻折后，点
落在
上的点
，则有
，

在
与
中，

∴
≌
（SAS）

∴
,
,

∵ 已知
中，
，
，

∴
,

∴
,

∴
,

∴
。

3、旋转法构造全等三角形

例3 如图3所示，已知点
、
分别在正方形
的边
与
上，并且
平分
，求证：
。

分析：本题要证的
和
不在同一条直线上，因而要设法将它们“组合”到一起。可将
绕点
旋转
到
，则
≌
，
=
，从而将
转化为线段
，再进一步证明
即可。证明略。

4、延长法构造全等三角形

例4 如图4所示，在
中，
，
，求证：
。

分析：证明一条线段等于另两条线段之和，常用的方法是延长一条短线段使其等于长线段，再证明延长部分与另一短线段相等即可；或者在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下部分等于另一条短线段。本题可延长
至
，使
，构造
≌
，然后证明
，就可得
。

5、截取法构造全等三角形

例5 如图5所示，在
中，边
上的高为
，又
，求证：
。

分析：欲证明
，可以在
上截取一线段等于
，再证明另一线段等于
。如果截取
（如图所示），则
可认为而
沿
翻折而来，从而只需证明
即可。证明略。

构造全等三角形解题的技巧

全等三角形是初中几何《三角形》中的一个重要内容，是初中生必须掌握的三角形两大知识点之一（全等和相似），在解决几何问题时，若能根据图形特征添加恰当的辅助线，构造出全等三角形，并利用全等图形的性质，可以使问题化难为易，出奇制胜，现举几例供大家参考。

友情提示：证明三角形全等的方法有SAS、SSS、AAS、ASA、HL（Rt△）。

一、见角平分线试折叠，构造全等三角形

例1 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC。

求证：∠B：∠C=2：1。

证法一：在线段AC上截取AE=AB，连接DE。

在△ABD和△AED中，

∵AE=AB，∠1=∠2，AD=AD，

∴△ABD
△AED。

∴DE=DB，∠B=∠AED。

∵AB+BD=AC，

∴AE+DE=AC。

又∵AE+CE=AC，

∴DE=CE。

∴∠C=∠EDC。

∵∠AED=∠C+∠EDC，

∴∠AED=2∠C，即∠B=2∠C。

∴∠B：∠C=2：1。

图1

证法二：延长AB到F，使BF=BD，连接DF。

∴∠F=∠BDF。

∵∠ABC=∠F+∠BDF，

∴∠ABC=2∠F。

∵AB+BD=AC，

∴AB+BF=A 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ∠AFD，∠4=∠1。

∵∠1=∠2，

∴∠4=∠2。

∵AB∥CD，

∴∠AFD=∠2+∠3=∠4+∠3=∠GAE。

又∵∠G=∠AFD，

∴∠G=∠GAE。

∴AE=GE。

∵EG=BE+BG=BE+DF，

∴BE+DF=AE。

从以上几例可以看出，全等三角形在证明中具有出奇制胜的作用。在解决有关角平分线、中点、线段的和差的问题时，通过添加辅助线构造全等三角形的办法，不仅能使问题迎刃而解，而且有助于学生创新思维的培养，提高学生的数学思维能力和分析能力。

见到角平分线时，既可把△ABD沿AD折叠变成△AED，也可把△ACD沿AD折叠变成△AFD，利用全等三角形的性质，可使问题得以解决。

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