第1章命题逻辑
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离散结构授课教师：吴某某Email：***2@qq.com电 话： ***清华大学出版社第一章 命题逻辑
第二章 一阶逻辑基本概念第一部分 数理逻辑第一章 命题逻辑1.1 命题符号化及联结词
1.2 命题公式及分类
1.3 等值演算
1.4 范式
1.5 联结词全功能集
1.6 组合电路
1.7 推理理论
1.8 例题分析1、基本概念 1.1 命题符号化及联结词注意：感叹句、祈使句、疑问句都不是命题， 命题指能判断真假的陈述句；命题的真值 真值为真的命题称为真命题，真值为假的命题称为假命题。判断的结果，分为真和假非真即假、真假唯一悖论也不是命题。数学家伯特兰·罗素（Russel，1872—1970） 提出的悖论 在某城市中有一位技艺高超的理发师，他定了这样的原则：“本人将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸，我也只给这些人刮脸。我对各位表示热诚欢迎！”来找他刮脸的人络绎不绝，自然都是那些不给自己刮脸的人。可是，有一天，这位理发师的胡长.子了，他本能地抓起了剃刀，忽然想起自己的原则。你们看他能不能给他自己刮脸呢？ 如果他不给自己刮脸，他就属于“不给自己刮脸的人”，他就要给自己刮脸，而如果他给自己刮脸呢？他又属于“给自己刮脸的人”，他就不该给自己刮脸。例1 下列句子中那些是命题？
(1) 是有理数.
(2) 2 + 5 = 7.
(3) x + 5 > 3.
(4) 你去教室吗？
(5) 这个苹果真大呀！
(6) 请不要讲话！
(7) 2050年元旦下大雪. 假命题 真命题真值不确定，不是命题 疑问句，不是命题 感叹句，不是命题祈使句，不是命题命题，真值现在不知道例1 下列句子中那些是命题？
(1) 是有理数.
(2) 2 + 5 = 7.
(3) x + 5 > 3.
(4) 你去教室吗？
(5) 这个苹果真大呀！
(6) 请不要讲话！
(7) 2050年元旦下大雪. (8) 我正在说谎. (8) 我正在说谎. 悖论 若这句是真的，说明 “我正在说谎”是真的，那意思是说的话是骗大家，真实是“我没说谎” ，矛盾！ 若这句是假的，意味 “我”说真话，说真话却又说 “我正在说谎” ，矛盾！定义 由简单句构成的命题称为简单命题或原子命题；由简单命题和联结词构成的命题称为复合命题。 简单命题不含逻辑联结词，它不能再分割为其它的陈述句。 复合命题由简单命题和逻辑联结词组成的陈述句。命题的表示（符号化） 用小写英文字母 p, q, r, …, pi , qi , ri (i?1)表示简单命题,用“1”或“T”表示真，用“0”或“F”表示假. 例如，令 q：2 + 5 = 7，则 q 的真值为 p： 是有理数，则 p 的真值为 0， 1.命题常某某（也称命题常某某）
我们把表示具体命题（命题真值确定）称为命题常某某。命题变元（也称命题变项）
是以“真、假”或“1，0”为取值范围的变元，它未指出符号所表示的具体命题，可以代表任意命题 ，用p，q，r，s表示。定义 设 p是命题，复合命题“非p”或“ p的否定”（1）否定“ ┐”复合命题符号化：(先介绍五个逻辑联结词)记为“┐ p”.符号“ ┐”称为否定联结词，念“非”。注意：若 p为1，则 ┐p为0，其真值表如下：定义 设p、q是命题，复合命题“p与q”、“p且q”
记为“p ∧ q”,符号“ ∧” 称为合取联结词，念"且”.
常见合取是 “不但…而且”、“虽然…但是”、“既…又”、“且”等等。（2）合取“ ∧ ”合取真值表如右所示： 规定p∧q为真当且仅当p为真而且q为真，0001例2 将下列命题符号化.
(1) 吴颖既用功又聪明.
(2) 吴颖不仅用功而且聪明.
(3) 吴颖虽然聪明，但不用功.
(4) 张辉与王丽都是三好生.
(5) 张辉与王某某同学.解 令p:吴颖用功, q:吴颖聪明
(1) p?q (4) 设p:张辉是三好生, q:王某某三好生 (2) p?q(3) ?p?q (4) p?q (5) p:张辉与王某某同学 (5) p定义 设p，q是命题。则复合命题，“p或者q”，记为“p∨q”。符号“∨”称为析取联结词。(3)析取“∨ ”为真当且仅当p为真或q为真。规定：析取的真值表如右：0111例3 将下列命题符号化
(1) 2 或 4 是素数.
(2) 2 或 3 是素数.
(3) 4 或 6 是素数.
(4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨.
(5) 王小红生于 1975 年或 1976 年.解
(1) 令p:2是素数, q:4是素数,
(2) 令p:2是素数, q:3是素数,
(3) 令p:4是素数, q:6是素数, (1) p?q(2) p?q(3) p?q解
(4) 令p:小元元拿一个苹果, q:小元元拿一个梨
(p??q)?(?p?q)
(5) p:王小红生于 1975 年, q:王小红生于1976 年,
(p??q)?(?p?q) 或 p?q(1)—(3) 为相容或
(4)—(5) 为排斥或, 符号化时(5)可有两种形式，而(4)则不能定义7.1.6 设p，q是命题，则复合命题“如果p，则q”，记为“p→ q”。符号“→”蕴涵联结词，读为“蕴涵”，p称蕴涵式的前件，q称蕴涵式后件。常见的蕴涵联结词有：
“如果…那么”、“如…则”、“只要…就”等等 。（4）蕴涵 “→ ”p→q 的真值表：注意：如果前件p为假，则无论后件q取何真值，一般地认为：为假当且仅当p为真而q为假。由表可知：p→q为真。1101只要p,就有q.p→qp仅当q.只有p,才q.除非p,才有q.除非p,否则没有q.p→qq→pq→pq→p除非p,否则必有q.? q→p或者? p → q例4 设 p：天冷，q：小王穿羽绒服，将下列命题符号化.
(1) 只要天冷，小王就穿羽绒服.
(2) 因为天冷，所以小王穿羽绒服.
(3) 若小王不穿羽绒服，则天不冷.
(4) 只有天冷，小王才穿羽绒服.
(5) 除非天冷，小王才穿羽绒服.
(6) 如果天不冷，则小王不穿羽绒服.
(7) 小王穿羽绒服仅当天冷的时候.p?qp?q┐ q ? ┐ pq?pq?p┐ p ? ┐ qq?p定义7.1.7 设p，q是命题，则复合命题“p当且仅当q”，记为p ? q，符号“? ”称为等价联结词，读作“等同”。“当且仅当”、“…是…充要条件”等等。（5）等价联结词“?”等价联结词常见的翻译有：等价真值表：注意：
从真值表可知， p ?q为真当且仅当 p，q的真值相同，否则为假 。1001例5 求下列复合命题的真值
(1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6.
(2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数.
(3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起.
(4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲.
(5) 函数 f (x) 在 x0 可导的充要条件是 它在 x0 连续. 10010约定 五个联结词运算的优先次序(从高到低)是：例如：其运算顺序为：再例如：其运算顺序为：注意: 本书中使用的 括号全为圆括号.2、练习 步骤：(a) 找出各简单命题，分别符号化。 (b) 找出各联结词，把简单命题逐个联结起来。（1）命题分类 练习 P26 例1.25（2）命题符号化 例6 将下列命题符号化。 (1) 小王是游泳冠军或百米赛跑冠军。 (2) 小王现在在宿舍或在图书馆。 (3) 选小王或小李中的一人当班长。 (4) 如果我XX，我就去书店看看，除非我很累。 (5) 小丽是计算机系的学生，她生于1982或1983年，她是三好生。 例6 将下列命题符号化。 (1) 小王是游泳冠军或百米赛跑冠军。 (2) 小王现在在宿舍或在图书馆。 原语句化为。原语句化为。(3) 选小王或小李中的一人当班长。 (4) 如果我XX，我就去书店看看，除非我很累。 原语句化为。 原语句化为)。(或(5) 小丽是计算机系的学生，她生于1982或1983年，她是三好生。 原语句化为。 作业
P31
1.1
1.5
1.6知识回顾 1、命题指能判断真假的陈述句；命题的真值指命题的真假；真用1或T表示，假用0或F表示。 2、常用联结词的优先顺序为：?、?、?、? 、?注意：只有 时， p→q为假命题。p真q假3、蕴含的符号化：只有p,才q除非p,才有q；q→pq→p只要p,就有q.p→qp仅当qp→q充分 如果p→q，那么p称为q的 条件， q称为p的 条件.必要；仅当q才p习题检测：将下列命题符号化，并指出真值。（1）如果3+3=7，则雪是白色的；（2）如果3+3=7，则雪是绿色的；（3）3+3=6，仅当雪是白色的；（4）仅当3+3=6，雪是白色的；（5）除非3+3=6，雪才是白色的；（6）3+3=7等价于雪是黑色的。设为p,设为q,p→q1p→q1p→q1q→p1q→p1p ? q1?1.2.1 命题公式1.2 命题公式及其赋值定义1.6 合式公式递归定义
(1) 单个命题变项和命题常某某是合式公式, 称作原子命题公式，如p,q,r,s,0,1……
(2) 若A是合式公式，则 (?A)也是合式公式
(3) 若A, B是合式公式，则(A?B), (A?B), (A?B), (A?B)也是合式公式
(4) 只有有限次地应用(1)—(3) 形成的符号串才是合式公式 简单地说：由有限次地将五个联结词以及命题变元组成有意义的式子称为合式公式，也称命题公式，简称公式。例如，下列式子哪些是命题公式。是命题公式pq没意义，不是命题公式是命题公式是命题公式不是命题公式不是命题公式定义1.7 合式公式的层次
(1) 若公式A是单个命题变项，则称A为0层公式.
(2) 称 A 是 n+1(n≥0) 层公式是指下面情况之一：
(a) A=?B, B 是 n 层公式；
(b) A=B?C, 其中B,C 分别为 i 层和 j 层公式，
且 n=max(i,j)；
(c) A=B?C, 其中 B,C 的层次及 n 同(b)；
(d) A=B?C, 其中B,C 的层次及 n 同(b)；
(e) A=B?C, 其中B,C 的层次及 n 同(b).
(3) 若公式A的层次为k, 则称A为k层公式.
例如公式 A=p,
B=?p,
C=?p?q,
D=?(p?q)?r,
E=((?p?q) ?r) ?(?r?s) 是0层公式；是1层公式；是2层公式；是3层公式；是4层公式；定义1.8 设p1, p2, … , pn是出现在公式A中的全部命题变项, 给p1, p2, … , pn各指定一个真值, 称为对A的一个赋值或解释. 1.2.2 公式赋值 若使A为1, 则称这组值为A的成真赋值; 若使A为0, 则称这组值为A的成假赋值.赋值采用下面的记法：1、若A中出现的命题变项为 p1, p2, … , pn，2、若A中出现的命题（按字母顺序）为 p, q, r, …, 给A赋值?1?2…?n是指
p1=?1, p2=?2, …, pn=?n, ?i=0或1；给A赋值?1?2?3…是指p=?1, q=?2 , r=?3 … 很容易计算出来，含n个命题变项的公式有 个赋值.例如，对公式?(p?q)?r：001是公式的成 赋值. 000是公式的成 赋值；010是公式的成 赋值；110是公式的成 赋值；111是公式的成 赋值.真真假 真 假2n定义 将命题公式A在所有赋值下取值的情况列成表, 称作A的真值表.构造真值表的步骤:
(1) 找出公式中所含的全部命题变项p1, p2, … , pn(若无下角标则按字母顺序排列), 列出2n个全部赋值, 从00?0开始, 按二进制加法, 每次加1, 直至11?1为止.
(2) 按从低到高的顺序写出公式的各个层次.
(3) 对每个赋值依次计算各层次的真值, 直到最后计算出公式的真值为止.pqr010000100101100110101111011例6 写出000001111111001111101成假赋值:110 真值表,并求它的成假赋值.PQR010000100101100110101111001例7 写出01< 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 (2) 结论引入规则； (3) 置换规则；(4) A附加(5) (A∧B)化简?(A∨B)A(6) (A→B)∧A假言推理 B(8) (A∨B)∧┐B析取三段论A假言三段论 (9) (A→B)∧ (B →C)A→C(7) (A→B)∧┐B拒取式┐A合取规则(10) (A →B)∧ (C →D) ∧( A ∨ C)(11) A ,BA ∧ B构造性二难二、附加前提法（A1∧A2∧…∧Ak)→(A→B) ?(A1∧A2∧…∧Ak∧A)→B? 三、归谬法(A1∧A2∧…∧Ak)→B ? ┐(A1∧A2∧…∧Ak∧┐B) [文章尾部最后500字内容到此结束,中间部分内容请查看底下的图片预览]请点击下方选择您需要的文档下载。
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