小专题(六)XXXXX构造全等三角形的方法技巧
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小专题(六) 构造全等三角形的方法技巧
方法1 利用“角平分线”构造全等三角形
【方法归纳】 因角平分线本身已经具备全等的三个条件中的两个(角相等和公共边相等)，故在处理角平分线问题时，常作以下辅助线构造全等三角形：
(1)在角的两边截取两条相等的线段；
(2)过角平分线上一点作角两边的垂线．
1．如图，AB∥CD，BE平分∠ABC，CE平分∠BCD，点E在AD上，求证：BC＝AB＋CD.
证明：在BC上截取BF＝AB，连接EF.
∵∠ABC、∠BCD的平分线交AD于点E，
∴∠ABE＝∠FBE，∠BCE＝∠DCE，
在△ABE和△FBE中，
∴△ABE≌△FBE.
∴∠BAE＝∠BFE.
∵AB∥CD，
∴∠BAE＋∠CDE＝180°.
∴∠BFE＋∠CDE＝180°.
∵∠BFE＋∠CFE＝180°，
∴∠CFE＝∠CDE.
在△FCE和△DCE中，
∴△FCE≌△DCE.
∴CF＝CD.
∴BC＝BF＋CF＝AB＋CD.
2．如图，已知∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C，D，求证：PC＝PD.
证明：过点P作PE⊥OA于点E，
PF⊥OB于点F.
∴∠PEC＝∠PFD＝90°.
∵OM是∠AOB的平分线．
∴PE＝PF.
∵∠AOB＝90°，∠CPD＝90°，
∴∠PCE＋∠PDO＝360°－90°－90°＝180°.
而∠PDO＋∠PDF＝180°，
∴∠PCE＝∠PDF.
在△PCE和△PDF中，
∴△PCE≌△PDF(AAS)．
∴PC＝PD.
方法2 利用“截长补短法”构造全等三角形
【方法归纳】 截长补短法的具体做法：在某一条线段上截取一条线段与特定线段相等，或将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种方法适用于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．
3．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠C＝2∠B，试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系，并说明理由．(想一想，你会几种方法)
解：AB＝AC＋CD.理由：
方法1：在AB上截取AE＝AC，连接DE.
易某某△AED≌△ACD(SAS)，
∴ED＝CD，∠AED＝∠C.
∵∠AED＝∠B＋∠EDB，
∴∠C＝∠AED＝∠B＋∠EDB.
又∵∠C＝2∠B，
∴∠B＝∠EDB.
∴BE＝DE.
∴AB＝AE＋BE＝AC＋DE＝AC＋CD.
方法2：延长AC到点F，使CF＝CD，连接DF.
∵CF＝CD，
∴∠CDF＝∠F.
∵∠ACB＝∠CDF＋∠F，
∴∠ACB＝2∠F.
又∵∠ACB＝2∠B，
∴∠B＝∠F.
又∵∠BAD＝∠FAD，AD＝AD，
∴△ABD≌△AFD(AAS)．
∴AB＝AF＝AC＋CF＝AC＋CD.
4．如图，在△ABC中，∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，BD，CE交于点O，试判断BE，CD，BC的数量关系，并加以证明．
解：BC＝BE＋CD.
证明：在BC上截取BF＝BE，连接OF.
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBO＝∠FBO.
又∵OB＝OB，
∴△EBO≌△FBO.
∴∠EOB＝∠FOB.
∵∠A＝60°，BD，CE分别平分∠ABC和∠ACB，
∴∠BOC＝180°－∠OBC－∠OCB＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－(180°－∠A)＝120°.
∴∠EOB＝∠DOC＝60°.
∴∠BOF＝60°，∠FOC＝∠DOC＝60°.
∵CE平分∠DCB，
∴∠DCO＝∠FC 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 C.
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD.
∴DF＝CD.
又∵AD＝AD，
∴△ADF≌△ADC(SAS)．
∴AC＝AF＝2AE，即AE＝AC.
7．如图，AB＝AE，AB⊥AE，AD＝AC，AD⊥AC，点M为BC的中点，求证：DE＝2AM.
证明：延长AM至N，使MN＝AM，连接BN.
∵点M为BC的中点，
∴BM＝CM.
又∵∠BMN＝∠CMA，
∴△AMC≌△NMB(SAS)．
∴AC＝BN，∠C＝∠NBM，∠ABN＝∠ABC＋∠C＝180°－∠BAC＝∠EAD.
又∵BN＝AC＝AD，AB＝EA，
∴△ABN≌△EAD(SAS)．
∴DE＝NA.
∴DE＝2AM.
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