专题一 椭圆
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9．6 椭 圆
/
1．椭圆的定义
(1)定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数2a(2a______|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的________，两焦点间的距离叫做椭圆的________．
XXXXX(2)另一种定义方式(见人教A版教材选修2－1 P47例6、P50)：平面内动点M到定点F的距离和它到定直线l的距离之比等于常数e(0＜e＜1)的轨迹叫做椭圆．定点F叫做椭圆的一个焦点，定直线l叫做椭圆的一条准线，常数e叫做椭圆的__________．
2．椭圆的标准方某某及几何性质
焦点在x轴上
焦点在y轴上
(1)图形
/
/
(2)标准
方某某
＋＝1(a>b>0)
(3)范围
－a≤x≤a，
－b≤y≤b
－a≤y≤a，
－b≤x≤b
(4)中心
原点O(0，0)
(5)顶点
A1(－a，0)，
A2(a，0)
B1(0，－b)，
B2(0，b)
(6)对称轴
x轴，y轴
(7)焦点
F1(0，－c)，F2(0，c)
(8)焦距
2c＝2
(9)离心率
自查自纠
1．(1)＞ 焦点 焦距 (2)离心率
2．(2)＋＝1(a＞b＞0)
(5)A1(0，－a)，A2(0，a)，B1(－b，0)，B2(b，0)
(7)F1(－c，0)，F2(c，0) (9)e＝(0＜e＜1)
/
/ 已知椭圆＋＝1(m>0)的左焦点为F1(－4，0)，则m等于( )
A．2 B．3 C．4 D．9
解：由题意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.故选B.
/ 已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y2＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )
A．2 B．6 C．4 D．12
解：由椭圆的方某某得a＝.设椭圆的另一个焦点为F，则由椭圆的定义得|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a，所以△ABC的周长为4a＝4.故选C.
/ (2016·全国卷Ⅱ)直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解：由题意知cb＝a·b，解得a＝2c，故椭圆离心率e＝＝，故选B.
/ 已知椭圆＋＝1的焦距是2，则该椭圆的长轴长为____________．
解：当焦点在x轴上时，有m－4＝1，得m＝5，此时长轴长为2；当焦点在y轴上时，长轴长为4.故填2或4.
/ 已知△ABC的顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝________．
解：由题意知，A，C为椭圆的两焦点，由正弦定理，得＝＝＝＝.故填.
类型一 椭圆的定义及其标准方某某
/ 一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方某某为( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解：设椭圆的标准方某某为＋＝1(a>b>0)．由点P(2，)在椭圆上知＋＝1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，即2a＝2×2c，则＝，又c2＝a2－b2，联立得a2＝8，b2＝6，故椭圆方某某为＋＝1.故选A.
【点拨】(1)求椭圆的方某某多采用定义法和待定系数法，利用椭圆的定义时，一定要注意常数2a>|F1F2|这一条件．(2)求椭圆标准方某某的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方某某组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方某某设为mx2＋ny2＝1 (m>0，n>0，m≠n)的形式．
/ (1)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点为F1，F2，离心率为，过F2的直线l交C于A，B两点．若△AF1B的周长为4，则C的方某某为( )
A.＋＝1 B.＋y2＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解：由题意及椭圆的定义知4a＝4，则a＝，
又e＝＝，
所以c＝1，则b2＝2，
故C的方某某为＋＝1.故选A.
(2)已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方某某为( )
A.－＝1 B.＋＝1
C.－＝1 D.＋＝1
解：设圆M的半径为r，
则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，
所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，
且 2a＝16，2c＝8，所以a＝8，c＝4，b＝4.
故所求的轨迹方某某为＋＝1.故选D.
类型二 椭圆的离心率
/ (1)从椭圆＋＝1(a>b>0)上一点P向x轴作垂线，垂足恰为左焦点F1，A是椭圆与x轴正半轴的交点，B是椭圆与y轴正半轴的交点，且AB∥OP(O是坐标原点)，则该椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
解：左焦点为F1(－c，0)，PF1⊥x轴，
当x＝－c时，＋＝1?y＝b2＝?yP＝(负值不合题意，舍去)，
所以点P，
由斜率公式得kAB＝－，kOP＝－.
因为AB∥OP，所以kAB＝kOP?－＝－?b＝c.
因为a2＝b2＋c2＝2c2，
所以＝?e＝＝.故选C.
(2)(2016·江苏)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点，直线y＝与椭圆交于B，C两点，且∠BFC＝90°，则该椭圆的离心率是__________．
/
解：由题意可得B，C，F(c，0)，则由∠BFC＝90°得·＝·＝c2－a2＋b2＝0，化简得c＝a，则离心率e＝＝＝.故填.
【点拨】求椭圆的离心率通常要构造关于a，c的齐某某，再转化为关于e的方某某；求椭圆离心率的取值范围，则往往要借助椭圆的几何性质及平面几何的知识构造不等式．
/ (1)过椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为椭圆的右焦点，若∠F1PF2＝60°，则椭圆的离心率为( )
A. B. C. D.
解：由题意，可设P.
因为在Rt△PF1F2中，|PF1|＝，|F1F2|＝2c，
∠F1PF2＝60°，所以＝.又因为b2＝a2－c2，所以c2＋2ac－a2＝0，即e2＋2e－＝0，解得e＝或e＝－，又因为e∈(0，1)，所以e＝.故选B.
(2)(2015·福建)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A、B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解：设椭圆的左焦点为F1，半焦距为c，连接AF1，BF1，则四边形AF1BF为平行四边形，所以|AF1|＋|BF1|＝|AF|＋|BF|＝4.根据椭圆定义，有|AF1|＋|AF|＋|BF1|＋|BF|＝4a，所以8＝4a，解得a＝2.因为点M到直线l：3x－4y＝0的距离不小于，即≥，b≥1，所以b2≥1，所以a2－c2≥1，4－c2≥1，解得00)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且∠F1PF2＝60°.若△PF1F2的面积为3，则b＝________．
解：|PF1|＋|PF2|＝2a，又∠F1PF2＝60°，
所以|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos 60°＝|F1F2|2，
即(|PF1|＋|PF2|)2－3|PF1||PF2|＝4c2，
所以3|PF1||PF2|＝4a2－4c2＝4b2，
所以|PF1||PF2|＝b2，
又因为S△PF1F2＝|PF1||PF2|sin 60°
＝×b2×
＝b2＝3，所以b＝3.故填3.
【点拨】椭圆的焦点三角形是描述椭圆上的点到焦点的距离、焦距之间的相互制约关系的一个载体．由于其位置、边的特殊性决定了它易于同椭圆的定义、长轴长、离心率等几何量发生联系，内容丰富多彩．
/ 设F1、F2分别是椭圆＋y2＝1的左、右焦点，若椭圆上存在一点P，使(＋)·＝0(O为坐标原点)，则△F1PF2的面积是________．
解：因为(＋)·＝(＋)·＝·＝0，
所以PF1⊥PF2，∠F1PF2＝90°.
设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
则m＋n＝4，m2＋n2＝12，2mn＝4，
所以S△PF1F2＝mn＝1.故填1.
类型四 椭圆的弦长
/ (2016·全国卷Ⅰ)设圆x2＋y2＋2x－15＝0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，l交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(1)证明|EA|＋|EB|为定值，并写出点E的轨迹方某某；
(2)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围．
解：(1)证明：因为|AD|＝|AC|，EB∥AC，
故∠EBD＝∠ACD＝∠ADC，所以|EB|＝|ED|，
故|EA|＋|EB|＝|EA|＋|ED|＝|AD|.
又圆A的标准方某某为(x＋1)2＋y2＝16，从而|AD|＝4，所以|EA|＋|EB|＝4.
由题设得A(－1，0)，B(1，0)，|AB|＝2.
由椭圆定义可得点E的轨迹方某某为＋＝1(y≠0)．
(2)当l与x轴不垂直时，设l的方某某为y＝k(x－1)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)．
由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
则x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|MN|＝|x1－x2|＝.
过点B(1，0)且与l垂直的直线m：y＝－(x－1)，
A到m的距离为，
所以|PQ|＝2＝4.
故四边形MPNQ的面积
S＝|MN||PQ|＝12.
可得当l与x轴不垂直时，四边形MPNQ面积的取值范围为(12，8)．
当l与x轴垂直时，其方某某为x＝1，|MN|＝3，|PQ|＝8，
四边形MPNQ的面积为12.
综上，四边形MPNQ面积的取值范围为[12，8)．
【点拨】①根据|EA|＋|EB|为定值可知轨迹为椭圆，利用椭圆定义求方某某；②分斜率是否存在设出直线方某某，当直线斜率存在时设其方某某为y＝k(x－1)(k≠0)，根据根与系数的关系和弦长公式把面积表示为斜率k的函数，再求最值．
/ 已知点A(0，－2)，椭圆E：＋＝1(a>b>0)的离心率为，F是椭圆的焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点．
(1)求E的方某某；
(2)设过点A的直线l与E 相交于P，Q两点，当△OPQ的面积最大时，求l的方某某．
解：(1)由题意可知右焦点F(c，0)，由条件知＝得c＝.
又＝，所以a＝2，b2＝a2－c2＝1.
故椭圆E的方某某为＋y2＝1.
(2)当l⊥x轴时不合题意，故可设直线l：y＝kx－2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)．
将y＝kx－2代入＋y2＝1得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0.当Δ＝16(4k2－3)>0，即k2>时，x1，2＝.从而|PQ|＝|x1－x2|＝.又点O到直线l的距离d＝，所以S△OPQ＝d·|PQ|＝.设＝t，则t>0，即S△OPQ＝＝.因为t＋≥4，当且仅当t＝2，即k＝±时取等号，且满足Δ>0.所以，当△OPQ的面积最大时，l的方某某为y＝x－2或y＝－x－2.
类型五 椭圆中的最值问题
/ (1)已知F是椭圆＋＝1的左焦点，P是此椭圆上的动点，A(1，1)是一定点，求|PA|＋|PF|的最大值和最小值．
解：由题意知a＝3，b＝，c＝2，F(－2，0)．
/
设椭圆右焦点为F′，则|PF|＋|PF′|＝6 ，所以|PA|＋|PF|＝|PA|－|PF′|＋6.当P，A，F′三点共线时，|PA|－|PF′|取到最大值|AF′|＝，或者最小值－|AF′|＝－.
所以|PA|＋|PF|的最大值为6＋，最小值为6－.
(2)已知点F1，F2是椭圆x2＋2y2＝2的左，右焦点，点P是该椭圆上的一个动点，那么|＋|的最小值是( )
A．0 B．1 C．2 D．2
解：设P(x0，y0)，则＝(－1－x0，－y0)，
＝(1－x0，－y0)，所以＋＝(－2x0，－2y0)，
所以|＋|＝＝2＝2.
因为点P在椭圆上，所以0≤y≤1，
所以当y＝1时，|＋|取最小值2.
另解：由＋＝＋＋＋＝2求解．
故选C.
(3)在椭圆＋＝1上求一点，使它到直线2x－3y＋15＝0的距离最短．
解：设所求点坐标为A(3cosθ，2sinθ)，θ∈R，由点到直线的距离公式得
d＝
＝，
当θ＝2kπ＋，k∈Z时，d取到最小值，此时A点坐标为(－3，2)．
【点拨】椭圆中距离的最值问题一般有3种解法：①利用椭圆的定义结合平面几何知识求解(适用于所求的表达式中隐含有长轴或者离心率e)；②根据椭圆标准方某某的特点，把距离问题转化为二次函数求最值的问题(适用于定点在椭圆的对称轴上)；③用椭圆的参数方某某设动点的坐标，转化为三角问题求解．
/ (1)设P，Q分别为圆x2＋(y－6)2＝2和椭圆＋y2＝1上的点，则P，Q两点间的最大距离是( )
A．5 B.＋ C．7＋ D．6
解法一：设椭圆上任意一点为Q(x，y)，则圆心(0，6)到点Q的距离d＝＝＝≤5，P，Q两点间的最大距离
d′＝dmax＋＝6.
解法二：易知圆心坐标为M(0，6)，|PQ|的最大值为|MQ|max＋，设Q(cosθ，sinθ)，
则|MQ|＝
＝
＝，
当sinθ＝－时，|MQ|max＝5，所以|PQ|max＝5＋＝6.故选D.
(2)(2015·**_*如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则·的最大值为____________．
/
解：设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2，
因为e＝＝，所以c＝1，所以b2＝a2－c2＝3.
所以椭圆方某某为＋＝1.
所以－2≤x0≤2，－≤y0≤.
因为F(－1，0)，A(2，0)，
＝(－1－x0，－y0)，＝(2－x0，－y0)，
所以·＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2.即当x0＝－2时，·取得最大值4.故填4.
/
1．在运用椭圆的定义时，要注意“|F1F2|＜2a”这个条件，若|F1F2|＝2a，则动点的轨迹不是椭圆，而是连结两定点的线段(包括端点)；若|F1F2|＞2a，则轨迹不存在．
2．椭圆的标准方某某有两种形式，两种形式可以统一为＋＝1(m＞0，n＞0，且m≠n)，具体是哪种形式，由m与n的大小而定．
3．求椭圆的标准方某某常用的方法是待定系数法和定义法，即(1)先设出椭圆标准方某某，根据已知条件列出关于a，b的两个方某某，求参数a，b的值；(2)由椭圆的定义及几何性质直接求出参数a，b的值．
4．充分利用图形的几何性质可以减少计算量，椭圆中可以用来减少计算量的几何性质主要体现在椭圆的定义中．
5．直线与椭圆的位置关系，可通过讨论椭圆方某某与直线方某某组成的方某某组的实数解的个数来确定．通常用消元后的关于x(或y)的一元二次方某某的判别式Δ与零的大小关系来判定．
6．直线和椭圆相交时，弦的中点坐标或弦中点轨迹方某某可由韦达定理来解决．设而不求(设点而不求点)的方法是解析几何中最重要的解题方法之一．
7．椭圆中几个常用的结论：
(1)焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫做焦点三角形．r1＝|PF1|，r2＝|PF2|，∠F1PF2＝θ，△PF1F2的面积为S，则在椭圆＋＝1(a＞b＞0)中：
①当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大；
②S＝b2tan＝c，当＝b时，即点P的位置为短轴端点时，S取最大值，最大值为bc.
(2)焦点弦(过焦点的弦)：焦点弦中以通径(垂直于长轴的焦点弦)最短，弦长lmin＝.
(3)AB为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
①弦长l＝＝|y1－y2|；
②直线AB的斜率kAB＝－.
以上常用结论在教材的例题与习题中都有体现．
【牛刀小试1】
1．已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则椭圆C的方某某是( )
A.＋＝1 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1
解：依题意，设椭圆方某某为＋＝1(a>b>0)，所以解得a2＝9，b2＝8.故椭圆C的方某某为＋＝1.故选D.
2．若椭圆C的长轴长是短轴长的3倍，则C的离心率为( )
A. B. C. D.
解：不妨设椭圆C的方某某为＋＝1(a>b>0)，则2a＝2b×3，即a＝3b.所以a2＝9b2＝9(a2－c2)．即＝，所以e＝＝，故选D.
3．方某某x2＋ky2＝2表示焦点在y轴上的椭圆，则k的取值范围是( )
A．(0，＋∞) B．(0，2)
C．(1，＋∞) D．(0，1)
解：将方某某x2＋ky2＝2变形为＋＝1，根据椭圆的定义，要使焦点在y轴，只须>2，解得00)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P，若AP∶PB＝2∶1，则椭圆的离心率是( )
A. B. C. D.
解：由BF⊥x轴，得BF∥OP，则＝＝，即＝，则椭圆的离心率e＝＝，故选D.
5．以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为( )
A．1 B. C．2 D． 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。
y0＝x0＋c＝.
由|PA|＝|PB|，得kPN＝－1，
即＝－1，得c＝3，
从而a＝3，b＝3.
故椭圆E的方某某为＋＝1.
/ (2016·*_**如图，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的右焦点为F2(1，0)，点H在椭圆上．
/
(1)求椭圆的方某某；
(2)点M在圆x2＋y2＝b2上，且M在第一象限，过M作圆x2＋y2＝b2的切线交椭圆于P，Q两点，求证：△PF2Q的周长是定值．
解：(1)设椭圆的左焦点为F1，
依题意可知F1(－1，0)，F2(1，0)，即c＝1，
因为H在椭圆上，
即2a＝|HF1|＋|HF2|＝＋＝6，
所以a＝3，则b＝＝2，
故椭圆的方某某为＋＝1.
(2)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则＋＝1，
即|PF2|＝＝
＝ ，
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