专题05 第七章 复数（知识串讲）
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专题五 复数（知识串讲）
★★★★必备知识★★★★
1.复数的有关概念
内容
意义
备注
复数的概念
形如a＋bi(a∈R，b∈R)的数叫复数，其中实部为a，/虚部为b
若b＝0，则a＋bi为实数；若a＝0且b≠0，则a＋bi为纯虚数
复数相等
a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)
共轭复数
a＋bi与c＋di共轭?a＝c且b＝－d(a，b，c，d∈R)
复平面
建立平面直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫实轴/，y轴叫虚轴
实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，各象限内的点都表示虚数
复数的模
设对应的复数为z＝a＋bi，则向量的长度叫做复数z＝a＋bi的模
|z|＝|a＋bi|＝
2.复数的几何意义
复数集C和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的，复数集C与复平面内所有以原点O为起点的向量组成的集合也是一一对应的，即[来源:***]
(1)复数z＝a＋bi/复平面内的点Z(a，b)(a，b∈R).
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)/平面向量.
3.复数的运算
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
(2)减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
(4)除法： (c＋di≠0).
★★★★常用结论★★★★
1.i的乘方具有周期性
in＝ (k∈/Z).
2.复数的模与共轭复数的关系
z·＝|z|2＝||2.
3.两个注意点
(1)两个虚数不能比/较大小；
(2)利用复数相等a＋bi＝c＋di列方程时，注意a，b，c，d∈R的前提条件.
★★★★典型例题★★★★
考点一 复数的相关概念
【例1】 (1)(2020·*_**已知z＝，则复数z的虚部为( )
A.－i B.2 C.－2i D.－2
(2)(2020·*_**已知在复平面内，复数z对应的点是Z(1，－2)，则复数z的共轭复数＝( )
A.2－i B.2＋i
C.1－2i D.1＋2i
(3)(2020·XX/一模)若复数z＝为纯虚数，则实数a的值为( )
A.1 B.0 C.－ D.－1
解析 (1)∵z＝＝－1－2i，则复数z的虚部为－2.故选D.
(2)∵复数z对应的点是Z(1/，－2)，∴z＝1－2i，
∴复数/z的共轭复数＝1＋2i，故选D.
(3)设z＝bi，b∈R且b≠0，
则＝bi，得到1＋i＝－ab＋bi，
∴1＝－ab，且1＝b，
解得a＝－1，故选D.
答案 (1)D (2)D (3)D
规律方法 1.复数的分类及对应点的位置都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)组即可．
2．解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
【训练1】 (1) (2020·豫南九校质量考评)已知复数，则x＋2y＝( )
A.1 B. C.－ D.－1
(2)(2020·*_**设i为虚数单位，1－i＝，则实数a＝( )
A.2 B.1 C.0 D.－1
解析 (1) 由题意得a＋i＝(x＋yi)(2＋i)＝2x－y＋(x＋2y)i 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 )复数的运算与复数概念的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合相关定义解答．
(4)复数的运算与复数几何意义的综合题．先利用复数的运算法则化简，一般化为a＋bi(a，b∈R)的形式，再结合复数的几何意义解答．
【训练3】1.（2020·XX省高三三模（理））已知（是虚数单位），则( )
A．3 B． C． D．
【答案】C
【解析】 故选：C
2．（2020·*_**高三其他（文））已知为虚数单位，，则复数的虚部是（ ）[来源:***]
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，，所以的虚部是．
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