求轨迹方程含答案
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求轨迹方程
考向一 直接法求轨迹方程
1、动点到点的距离是到点的距离的倍，则动点的轨迹方程为
A． B．
C． D．
【分析】设为，依据题中条件动点到点的距离是到点的距离的倍，列出关于，的方程式，化简即可得点的轨迹方程．
【解答】解：设，则由题意可得：，
化简整理得．
故选：．
【点评】求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．
2．古希腊数学家阿波罗尼Yg斯（约公元前公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，他证明过这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，设，，动点满足，则动点的轨迹方程为
A． B． C． D．
【分析】设出动点坐标，利用已知条件列出方程，化简求解即可．
【解答】解：设，由，
得，可得：，
即
故动点的轨迹方程为．
故选：．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，是基本知识的考查．
3、已知Rt△ABC的斜边为AB，且A(－1,0)，B(3,0)．求：直角顶点C的轨迹方程；
【答案】x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
【解析】方法一 设C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.
因为AC⊥BC，且BC，AC斜率均存在，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
方法二 设AB的中点为D，由中点坐标公式得D(1,0)，由直角三角形的性质知CD＝AB＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D(1,0)为圆心，2为半径的圆(由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点)．
所以直角顶点C的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
4、已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．
(1)求线段AP中点的轨迹方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．
解 (1)设AP的中点为M(x，y)，
由中点坐标公式可知，P点坐标为(2x－2,2y)．
因为P点在圆x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4，
故线段AP中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
(2)设PQ的中点为N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|.
设O为坐标原点，连接ON，则ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故线段PQ中点的轨迹方程为x2＋y2－x－y－1＝0.
考向二 定义法求轨迹方程
1、设圆x2 + y2 ? 4x + 2y ? 11 = 0的圆?为A，点P在圆上，求PA的中点M的轨迹?程
答案：(x ? 2)2 + (y + 1)2 = 4
2、已知BC是圆x2 + y2 = 25的弦，且|BC| = 6，则BC的中点M的轨迹?程某某
【分析】第一步：利用垂径定理可得中点M (0, 0) 到圆心的距离为定值 ;
第二步：利用圆的定义得 M的轨迹方程:x2 + y2 = 16
3、已知过原点的动直线l与圆C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A，B.
(1)求圆C1的圆心坐标；
(2)求线段 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 M与轨迹相交于某某和，不符合题意，舍去，
所以点P的轨迹为(x＋3)2＋(y－4)2＝4，除去两点和.
7、在△ABC中，已知|BC|＝2，且＝m，求点A的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.
解 如图，以直线BC为x轴、线段BC的中点为原点，建立直角坐标系.
则有B(－1，0)，C(1，0)，设点A的坐标为(x，y).
由＝m，得＝m.整理得(m2－1)x2＋(m2－1)y2－2(m2＋1)x＋(m2－1)＝0.①
当m2＝1时，m＝1，方程某某x＝0，轨迹是y轴.
当m2≠1时，对①式配方，得＋y2＝.
所以，点A的轨迹是以为圆心，为半径的圆(除去圆与BC的交点).
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