2020年**_*考数学试卷
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2020年**_*考数学试卷
一．选择题（共10小题）
1．㧟3的绝对值是（ ）
A．㧟3 B．3 C．/ D．㧟/
2．我国高铁通车总里程居世界第一，预计到2020年底，高铁总里程大约39000千米，39000用科学记数法表示为（ ）
A．39×103 B．3.9×104 C．3.9×10㧟4 D．39×10㧟3
3．如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（ ）
/
A．70° B．100° C．110° D．120°
4．一组数据4，10，12，14，则这组数据的平均数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
5．已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
6．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
/
A．a＞b B．㧟a＜b C．a＞㧟b D．㧟a＞b
7．已知等边三角形一边上的高为2/，则它的边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4/
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
/
A．/ B．/
C．/ D．/
9．已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方某某x2㧟6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（ ）
A．7 B．7或6 C．6或㧟7 D．6
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝/，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为/；②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（ ）
/
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
二．填空题（共8小题）
11．因式分解：a2+ab㧟a＝ ．
12．方某某2x+10＝0的解是 ．
13．已知点（2，㧟2）在反比例函数y＝/的图象上，则这个反比例函数的表达式是 ．
14．函数y＝/中，自变量x的取值范围是 ．
15．从㧟2，㧟1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于 ．
16．设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于 cm．
17．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，将∠A向内翻析，点A落在BC上，记为A1，折痕为DE．若将∠B沿EA1向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B1，则AB＝ ．
/
18．观察下列等式：
2+22＝23㧟2；
2+22+23＝24㧟2；
2+22+23+24＝25㧟2；
2+22+23+24+25＝26㧟2；
…
已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝ （结果用含m的代数式表示）．
三．解答题（共7小题）
19．（1）计算：2÷/㧟（㧟1）2020㧟/㧟（/㧟/）0．
（2）先化简，再求值：（a+/）÷（/），自选一个a值代入求值．
20．如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．
/
21．某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2）m＝ ，n＝ ；
（3）若该校共有2000名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人？
/
22．如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的周围47km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？
/
23．某文体商店计划购进一批同种型号的篮球和同种型号的排球，每一个排球的进价是每一个篮球的进价的90%，用3600元购买排球的个数要比用3600元购买篮球的个数多10个．
（1）问每一个篮球、排球的进价各是多少元？
（2）该文体商店计划购进篮球和排球共100个，且排球个数不低于篮球个数的3倍，篮球的售价定为每一个100元，排球的售价定为每一个90元．若该批篮球、排球都能卖完，问该文体商店应购进篮球、排球各多少个才能获得最大利润？最大利润是多少？
24．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AD＝8，/＝/，求CD的长．
/
25．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+6经过两点A（㧟1，0），B（3，0），C是抛物线与y轴的交点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P（m，n）在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设△PBC的面积为S，求S关于m的函数表达式（指出自变量m的取值范围）和S的最大值；
（3）点M在抛物线上运动，点N在y轴上运动，是否存在点M、点N使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似，如果存在，请求出点M和点N的坐标．
/
2020年**_*考数学试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．㧟3的绝对值是（ ）
A．㧟3 B．3 C．/ D．㧟/
【分析】直接利用绝对值的定义分析得出答案．
【解答】解：㧟3的绝对值是：3．
故选：B．
2．我国高铁通车总里程居世界第一，预计到2020年底，高铁总里程大约39000千米，39000用科学记数法表示为（ ）
A．39×103 B．3.9×104 C．3.9×10㧟4 D．39×10㧟3
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值是易错点，由于39000有5位，所以可以确定n＝5㧟1＝4．
【解答】解：39000＝3.9×104．
故选：B．
3．如图，直线AB∥CD，∠3＝70°，则∠1＝（ ）
/
A．70° B．100° C．110° D．120°
【分析】直接利用平行线的性质得出∠1＝∠2，进而得出答案．
【解答】解：∵直线AB∥CD，
∴∠1＝∠2，
∵∠3＝70°，
∴∠1＝∠2＝180°㧟70°＝110°．
故选：C．
4．一组数据4，10，12，14，则这组数据的平均数是（ ）
A．9 B．10 C．11 D．12
【分析】对于n个数x1，x2，…，xn，则/＝/（x1+x2+…+xn）就叫做这n个数的算术平均数，据此列式计算可得．
【解答】解：这组数据的平均数为/×（4+10+12+14）＝10，
故选：B．
5．已知△FHB∽△EAD，它们的周长分别为30和15，且FH＝6，则EA的长为（ ）
A．3 B．2 C．4 D．5
【分析】根据相似三角形的周长比等于相似比解答．
【解答】解：∵△FHB和△EAD的周长分别为30和15，
∴△FHB和△EAD的周长比为2：1，
∵△FHB∽△EAD，
∴/＝2，即/＝2，
解得，EA＝3，
故选：A．
6．实数a，b在数轴上对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是（ ）
/
A．a＞b B．㧟a＜b C．a＞㧟b D．㧟a＞b
【分析】根据数轴即可判断a和b的符号以及绝对值的大小，根据有理数的大小比较方法进行比较即可求解．
【解答】解：根据数轴可得：a＜0，b＞0，且|a|＞|b|，
则a＜b，㧟a＞b，a＜㧟b，㧟a＞b．
故选：D．
7．已知等边三角形一边上的高为2/，则它的边长为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4/
【分析】根据等边三角形的性质：三线合一，利用勾股定理可求解即可．
【解答】解：根据等边三角形：三线合一，
设它的边长为x，可得：/，
解得：x＝4，x＝㧟4（舍去），
故选：C．
8．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P沿折线BCD从点B开始运动到点D，设点P运动的路程为x，△ADP的面积为y，那么y与x之间的函数关系的图象大致是（ ）
/
A．/ B．/
C．/ D．/
【分析】分别求出0≤x≤4、4＜x＜7时函数表达式，即可求解．
【解答】解：由题意当0≤x≤4时，
y＝/×AD×AB＝/×3×4＝6，
当4＜x＜7时，
/
y＝/×PD×AD＝/×（7㧟x）×4＝14㧟2x．
故选：D．
9．已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于x的一元二次方某某x2㧟6x+k+2＝0的两个根，则k的值等于（ ）
A．7 B．7或6 C．6或㧟7 D．6
【分析】当m＝4或n＝4时，即x＝4，代入方某某即可得到结论，当m＝n时，即△＝（㧟6）2㧟4×（k+2）＝0，解方某某即可得到结论．
【解答】解：当m＝4或n＝4时，即x＝4，
∴方某某为42㧟6×4+k+2＝0，
解得：k＝6，
当m＝n时，即△＝（㧟6）2㧟4×（k+2）＝0，
解得：k＝7，
综上所述，k的值等于6或7，
故选：B．
10．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在边AB上，BE＝1，∠DAM＝45°，点F在射线AM上，且AF＝/，过点F作AD的平行线交BA的延长线于点H，CF与AD相交于点G，连接EC、EG、EF．下列结论：①△ECF的面积为/；②△AEG的周长为8；③EG2＝DG2+BE2；其中正确的是（ ）
/
A．①②③ B．①③ C．①② D．②③
【分析】先判断出∠H＝90°，进而求出AH＝HF＝1＝BE．进而判断出△EHF≌△CBE（SAS），得出EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，判断出△CEF是等腰直角三角形，再用勾股定理求出EC2＝17，即可得出①正确；
先判断出四边形APFH是矩形，进而判断出矩形AHFP是正方形，得出AP＝PH＝AH＝1，同理：四边形ABQP是矩形，得出PQ＝4，BQ＝1，FQ＝5，CQ＝3，再判断出△FPG∽△FQC，得出/，求出PG＝/，再根据勾股定理求得EG＝/，即△AEG的周长为8，判断出②正确；
先求出DG＝/，进而求出DG2+BE2＝/，在求出EG2/≠/，判断出③错误，即可得出结论．
【解答】解：如图，在正方形ABCD中，AD∥BC，AB＝BC＝AD＝4，∠B＝∠BAD＝90°，
∴∠HAD＝90°，
∵HF∥AD，
∴∠H＝90°，
∵∠HAF＝90°㧟∠DAM＝45°，
∴∠AFH＝∠HAF．
∵AF＝/，
∴AH＝HF＝1＝BE．
∴EH＝AE+AH＝AB㧟BE+AH＝4＝BC，
∴△EHF≌△CBE（SAS），
∴EF＝EC，∠HEF＝∠BCE，
∵∠BCE+∠BEC＝90°，
∴HEF+∠BEC＝90°，
∴∠FEC＝90°，
∴△CEF是等腰直角三角形，
在Rt△CBE中，BE＝1，BC＝4，
∴EC2＝BE2+BC2＝17，
∴S△ECF＝/EF?EC＝/EC2＝/，故①正确；
过点F作FQ⊥BC于Q，交AD于P，
∴∠APF＝90°＝∠H＝∠HAD，
∴四边形APFH是矩形，
∵AH＝HF，
∴矩形AHFP是正方形，
∴AP＝PH＝AH＝1，
同理：四边形ABQP是矩形，
∴PQ＝AB＝4，BQ＝AP1，FQ＝FP+PQ＝5，CQ＝BC㧟BQ＝3，
∵AD∥BC，
∴△FPG∽△FQC，
∴/，
∴/，
∴PG＝/，
∴AG＝AP+PG＝/，
在Rt△EAG中，根据勾股定理得，EG＝/＝/，
∴△AEG的周长为AG+EG+AE＝/+/+3＝8，故②正确；
∵AD＝4，
∴DG＝AD㧟AG＝/，
∴DG2+BE2＝/+1＝/，
∵EG2＝（/）2＝/≠/，
∴EG2≠DG2+BE2，故③错误，
∴正确的有①②，
故选：C．
/
二．填空题（共8小题）
11．因式分解：a2+ab㧟a＝ a（a+b㧟1） ．
【分析】原式提取公因式即可．
【解答】解：原式＝a（a+b㧟1）．
故答案为：a（a+b㧟1）．
12．方某某2x+10＝0的解是 x＝㧟5 ．
【分析】方某某移项，把x系数化为1，即可求出解．
【解答】解：方某某2x+10＝0，
移项得：2x＝㧟10，
解得：x＝㧟5．
故答案为：x＝㧟5．
13．已知点（2，㧟2）在反比例函数y＝/的图象上，则这个反比例函数的表达式是 y＝㧟/ ．
【分析】把点（2，㧟2）代入反比例函数y＝/（k≠0）中求出k的值，从而得到反比例函数解析式．
【解答】解：∵反比例函数y＝/（k≠0）的图象上一点的坐标为（2，㧟2），
∴k＝㧟2×2＝㧟4，
∴反比例函数解析式为y＝㧟/，
故答案为：y＝㧟/．
14．函数y＝/中，自变量x的取值范围是 x≥2 ．
【分析】因为当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数，所以2x㧟4≥0，可求x的范围．
【解答】解：2x㧟4≥0
解得x≥2．
15．从㧟2，㧟1，2三个数中任取两个不同的数，作为点的坐标，则该点在第三象限的概率等于 / ．
【分析】画树状图得出所有等可能结果，从中找到该点在第三象限的结果数，再利用概率公式求解可得．
【解答】解：画树状图如下
/
共有6种等可能情况，该点在第三象限的情况数有（㧟2，㧟1）和（㧟1，㧟2）这2种结果，
∴该点在第三象限的概率等于/＝/，
故答案为：/．
16．设AB，CD，EF是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，则AB与EF的距离等于 7或17 cm．
【分析】分两种情况讨论，EF在AB，CD之间或EF在AB，CD同侧，进而得出结论．
【解答】解：分两种情况：
①当EF在AB，CD之间时，如图：
/
∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，
∴EF与AB的距离为12㧟5＝7（cm）．
②当EF在AB，CD同侧时，如图：
/
∵AB与CD的距离是12cm，EF与CD的距离是5cm，
∴EF与AB的距离为12+5＝17（cm）．
综上所述，EF与AB的距离为7cm或17cm．
故答案为：7或17．
17．如图，在矩形ABCD中，AD＝4，将∠A向内翻析，点A落在BC上，记为A1，折痕为DE．若将∠B沿EA1向内翻折，点B恰好落在DE上，记为B1，则AB＝ / ．
/
【分析】依据△A1DB1≌△A1DC（AAS），即可得出A1C＝A1B1，再根据折叠的性质，即可得到A1C＝/BC＝2，最后依据勾股定理进行计算，即可得到CD的长，即AB的长．
【解答】解：由折叠可得，A1D＝AD＝4，∠A＝∠EA1D＝90°，∠BA1E＝∠B1A1E，BA1＝B1A1，∠B＝∠A1B1E＝90°，
∴∠EA1B1+∠DA1B1＝90°＝∠BA1E+∠CA1D，
∴∠DA1B1＝∠CA1D，
又∵∠C＝∠A1B1D，A1D＝A1D，
∴△A1DB1≌△A1DC（AAS），
∴A1C＝A1B1，
∴BA1＝A1C＝/BC＝2，
∴Rt△A1CD中，CD＝/＝/，
∴AB＝/，
故答案为：/．
18．观察下列等式：
2+22＝23㧟2；
2+22+23＝24㧟2；
2+22+23+24＝25㧟2；
2+22+23+24+25＝26㧟2；
…
已知按一定规律排列的一组数：220，221，222，223，224，…，238，239，240，若220＝m，则220+221+222+223+224+…+238+239+240＝ m（2m㧟1） （结果用含m的代数式表示）．
【分析】由题意可得220+221+222+223+224+…+238+239+240＝220（1+2+22+…+219+220）＝220（1+221㧟2）＝220（220×2㧟1），再将220＝m代入即可求解．
【解答】解：∵220＝m，
∴220+221+222+223+224+…+238+239+240
＝220（1+2+22+…+219+220）
＝220（1+221㧟2）
＝m（2m㧟1）．
故答案为：m（2m㧟1）．
三．解答题（共7小题）
19．（1）计算：2÷/㧟（㧟1）2020㧟/㧟（/㧟/）0．
（2）先化简，再求值：（a+/）÷（/），自选一个a值代入求值．
【分析】（1）原式利用除法法则，乘方的意义，算术平方根定义，以及零指数幂法则计算即可求出值；
（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把a的值代入计算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝2×2㧟1㧟2㧟1
＝4㧟1㧟2㧟1
＝0；
（2）原式＝/?/
＝/?/
＝㧟/，
当a＝0时，原式＝㧟3．
20．如图，∠B＝∠E，BF＝EC，AC∥DF．求证：△ABC≌△DEF．
/
【分析】首先利用平行线的性质得出∠ACB＝∠DFE，进而利用全等三角形的判定定理ASA，进而得出答案．
【解答】证明：∵AC∥DF，
∴∠ACB＝∠DFE，
∵BF＝CE，
∴BC＝EF，
在△ABC和△DEF中，/，
∴△ABC≌△DEF（ASA）．
21．某校计划组织学生参加学校书法、摄影、篮球、乒乓球四个课外兴趣小组，要求每人必须参加并且只能选择其中的一个小组，为了了解学生对四个课外小组的选择情况，学校从全体学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你根据给出的信息解答下列问题：
（1）求该校参加这次问卷调查的学生人数，并补全条形统计图（画图后请标注相应的数据）；
（2）m＝ 36 ，n＝ 16 ；
（3）若该校共有2000名学生，试估计该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人？
/
【分析】（1）根据选择书法的学生人数和所占的百分比，可以求得该校参加这次问卷调查的学生人数，然后根据扇形统计图中选择篮球的占28%，即可求得选择篮球的学生人数，从而可以将条形统计图补充完整；
（2）根据条形统计图中的数据和（1）中的结果，可以得到m、n的值；
（3）根据统计图中的数据，可以计算出该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有多少人．
【解答】解：（1）该校参加这次问卷调查的学生有：20÷20%＝100（人），
选择篮球的学生有：100×28%＝28（人），
补全的条形统计图如右图所示；
（2）m%＝/×100%＝36%，
n%＝/×100%＝16%，
故答案为：36，16；
（3）2000×16%＝320（人），
答：该校选择“乒乓球”课外兴趣小组的学生有320人．
/
22．如图，一艘船由西向东航行，在A处测得北偏东60°方向上有一座灯塔C，再向东继续航行60km到达B处，这时测得灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔C的周围47km内有暗礁，问这艘船继续向东航行是否安全？
/
【分析】过C作CD⊥AB于点D，根据方向角的定义及余角的性质求出∠BCA＝30°，∠ACD＝60°，证∠ACB＝30°＝∠BCA，根据等角对等边得出BC＝AB＝12，然后解R 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 BC相似．
如图2，∠CMN＝90°，当点M位于点C上方，过点M作MD⊥y轴于点D，
/
∵∠CDM＝∠CMN＝90°，∠DCM＝∠NCM，
∴△MCD∽△NCM，
若△CMN与△OBC相似，则△MCD与△NCM相似，
设M（a，㧟2a2+4a+6），C（0，6），
∴DC＝㧟2a2+4a，DM＝a，
当/时，△COB∽△CDM∽△CMN，
∴/，
解得，a＝1，
∴M（1，8），
此时ND＝/DM＝/，
∴N（0，/），
当/时，△COB∽△MDC∽△NMC，
∴/，
解得a＝/，
∴M（/，/），
此时N（0，/）．
如图3，当点M位于点C的下方，
/
过点M作ME⊥y轴于点E，
设M（a，㧟2a2+4a+6），C（0，6），
∴EC＝2a2㧟4a，EM＝a，
同理可得：/或/＝2，△CMN与△OBC相似，
解得a＝/或a＝3，
∴M（/，/）或M（3，0），
此时N点坐标为（0，/）或（0，㧟/）．
综合以上得，M（1，8），N（0，/）或M（/，/），N（0，/）或M（/，/），N（0，/）或M（3，0），N（0，㧟/），使得∠CMN＝90°，且△CMN与△OBC相似．
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