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-(1)线性代数试题(B)解答

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XX大学2010-2011学年第一学期考试卷

线性代数Ⅱ(B卷)参考解答与评分标准

一.填空题(每小题3分,本大题满分18分)

1.已知,则.

2.设,则.

3.设为3阶矩阵,且,则.

4.已知为2阶可逆矩阵,,则秩.

5.若向量组线性相关,则.

6.已知3阶方阵的特征值为,则.

二.选择题(每小题3分,本大题满分18分)

1.有矩阵,下列矩阵运算不可行的是( D ).

(A); (B); (C); (D).

2.设3阶矩阵的第二列乘以2为矩阵,则的( A )为.

(A)第二行乘以2; (B)第二列乘以2; (C)第二行乘以; (D)第二列乘以.

3.设为阶矩阵,为阶单位矩阵,则( D ).

(A); (B); (C); (D).

4.设是矩阵,则线性方程组( B ).

(A)当时仅有零解; (B)当时必有非零解;

(C)当时仅有零解; (D)当时必有非零解.

5.设向量组为有限向量组的部分组,下列命题正确的是( C ).

(A)若向量组线性相关,则向量组必线性相关;

(B)若向量组线性无关,则向量组必线性无关;

(C)若向量组线性无关,则向量组必线性无关;

(D)秩.

6.设是非奇异矩阵的一个特征值,则矩阵有一个特征值为( B ).

(A); ( 内容过长,仅展示头部和尾部部分文字预览,全文请查看图片预览。

六.(本题满分16分)

设矩阵.

(1)求矩阵的特征值和特征向量;

(2)求可逆矩阵,使为对角矩阵;

(3)计算.

解: (1) 的特征多项式为



的特征值为,. ......4分

当时,解,得基础解某某,

对应于特征值的全部特征向量为(). ......6分

当时,解,得基础解某某,

对应于特征值的全部特征向量为() ......8分

(2) 取,则. ......10分

(3) , ......12分

,



 ......16分

七.(本题满分8分)

设是非齐次线性方程组的一个解,是的一个基础解某某.

证明线性无关.

证明: 设存在一组数,使

 (1)

即  (2) ......2分

由题设,.用矩阵左某某(2)的两边,得



因,得

 (3) ......5分

代入(2)得



因基础解某某线性无关,所以,代入(3)得.

因此(1)只有零解,从而线性无关. ......8分

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