高数下册期末试题
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一、单选题（共15分，每小题3分）
1．设函数在的两个偏导， 都存在，则 ( C )
A．在连续 B．在可微
C． 及 都存在 D．存在
2．若，则等于（ D ）．
3．设是圆柱面及平面所围成的区域，则 C ）．
4． 4．若在处收敛，则此级数在处（ B ）．
A． 条件收敛 B． 绝对收敛 C． 发散 D． 敛散性不能确定
5．曲线在点（1，1，2）处的一个切线方向向量为（ A ）.
A. （-1，3，4） B.（3，-1，4） C. （-1，0，3） D. （3，0，-1）
二、填空题（共15分，每小题3分）
1．设，则 .
2．交 换的积分次序后，_____________________．
3．设，则在点处的梯度为 .
4. 已知，则 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ， ( 7分)
6．（本小题满分7分）计算二重积分及围成.
解：记，则.（2分） 故
( 4分)
（7分）
7.（本小题满分7分）利用格林公式计算，其中是圆周（按逆时针方向）.
解：所围区域：,由格林公式，可得= ==.(7分)
8.（本小题满分7分）计算，其中是由柱面及平面所围成且在第一卦限内的区域.
解：如图，选取柱面坐标系计算方便,此时，所以 ( 4分)
==. (7分)
四、综合题（共16分，每小题8分）
1．（本小题满分8分）设级数都收敛，证明级数收敛。
证明：因为，（2分）
故存在N，当时，，因此收敛。（8分）
2．（本小题满分8分）设函数在内具有一阶连续偏导数，且，
证明曲线积分与路径无关．若对任意的恒有，求的表达式．
证明：因为，且，故曲线积分与路径无关．（4分）
因此设，从而
，（5分）
，（6分）
由此得对任意成立，于是，即
．（8分）
参考答案及评分标准
一、单选题（共15分，每小题3分）：1.C 2 D 3 C 4B 5 A
二、填空题（共15分，每小题3分）
1.-1 2. 3. 4 5. (2,2)
三、解答题（共54分，每小题6--7分）
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