届高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（八）：立体几何
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高考数学考前30天回归课本知识技法精细过（八）
第一节 空间几何体的结构及其三视图和直观图
一、必记4个知识点
1．空间几何体的结构特征
/
(2)旋转体的结构特征：
几何体
旋转图形
旋转轴
圆柱
矩形
⑦__________所在的直线
圆锥
直角三角形
⑧__________所在的直线
圆台
直角梯形
⑨__________所在的直线
球
半圆
⑩__________所在的直线
2.空间几何体的三视图
(1)三视图的形成与名称：
(ⅰ)形成：空间几何体的三视图是用平行投影得到的，在这种投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的?________和?________是完全相同的．
(ⅱ)名称：三视图包括?______、?______、?________.
(2)三视图的画法：
(ⅰ)在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成?______.
(ⅱ)三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的?______方、?______方、?______方观察几何体画出的轮廓线．
3．空间几何体的直观图
空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，基本步骤是：
(1)画几何体的底面：
在已知图形中取互相垂直的x轴，y轴，两轴相交于点O，画直观图时，把它们画成对应的x′轴、y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝?________，已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中长度______，平行于y轴的线段，长度______.
(2)画几何体的高：
在已知图形中过O点作z轴垂直于xOy平面，在直观图中对应的z′轴，也垂直于x′O′y′平面，已知图形中平行于z轴的线段，在直观图中仍平行于z′轴且长度不变．
4．正棱柱、正棱锥的结构特征
(1)正棱柱：侧棱________于某某的棱柱叫做直棱柱，底面是________的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是________，侧棱________于某某，侧面是矩形．
(2)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥．特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体．
二、必明3个易某某
1．台某某可以看成是由锥体截得的，易某某截面与底面平行且侧棱延长后必交于一点．
2．空间几何体不同放置时其三视图不一定相同．
3．对于简单组合体，若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，易某某实虚线的画法．
三、技法
1. 空间几何体结构特征的解题策略
(1)紧扣结构特征是判断的关键，熟悉空间几何体的结构特征，依据条件构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素，然后再依据题意判定．
(2)通过举反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的，只要举出一个反例即可.
2.
/
3. 根据几何体确认三视图的技巧
由实物图画三视图或判断选择三视图，按照“正侧一样高，正俯一样长，俯侧一样宽”的特点确认．
4．根据三视图还原几何体的技巧策略
(1)对柱、锥、台、球的三视图要熟悉．
(2)明确三视图的形成原理，并能结合空间想象将三视图还原为直观图．
(3)遵循“长对正、XX齐、宽相等”的原则．
参考答案
①平行且相等 ②全等 ③多边形 ④公共点 ⑤平行于某某 ⑥相似 ⑦任某某
⑧任一直角边 ⑨垂直于底边的腰 ⑩直径 ?形状 ?大小 ?正视图 ?侧视图
?俯视图 ?虚线 ?正前 ?正左 ?正上 ?45°(或135°) 不变 减半
垂直 正多边形 正多边形 垂直
第二节 空间几何体的表面积和体积
一、必记4个知识点
1．柱、锥、台和球的侧面积和体积
面积
体积
圆柱
S侧＝①________
V＝②________＝③________
圆锥
S侧＝④________
V＝⑤________＝⑥________
＝πr2
圆台
S侧＝⑦________
V＝(S上＋S下＋)h
＝π(r＋r＋r1r2)h
直棱柱
S侧＝⑧________
V＝⑨________
正棱锥
S侧＝⑩________
V＝?________
正棱台
S侧＝?________
V＝(S上＋S下＋)h
球
S球面＝?________
V＝?________
2.长方体的外接球
(1)球心：体对角线的交点．
(2)半径：r＝(a，b，c为长方体的长、宽、高)．
3．正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球
(1)外接球：球心是正方体中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)．
(2)内切球：球心是正方体中心；半径r＝(a为正方体的棱长)．
(3)与各条棱都相切的球：球心是正方体中心；半径r＝a(a为正方体的棱长)．
4．正四面体的外接球与内切球(正四面体可以看作是正方体的一部分)
(1)外接球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长)．
(2)内切球：球心是正四面体的中心；半径r＝a(a为正四面体的棱长)．
二、必明3个易某某
1．求组合体的表面积时：组合体的衔接部分的面积问题易出错．
2．由三视图计算几何体的表面积与体积时，由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致失误．
3．易混侧面积与表面积的概念．
三、技法
1. 几何体表面积的求法
(1)多面体：其表面积是各个面的面积之和．
(2)旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和．
计算旋转体的侧面积时，一般采用转化的方法来进行，即将侧面展XX为平面图形来解决．
(3)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．
(4)若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
2. 空间几何体体积的求法
(1)求简单几何体的体积．若所给的几何体为柱体、锥体或台某某，则可直接利用公式求解．
(2)求组合体的体积．若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，则常用转换法、分割法、补形法等进行求解．
(3)求以三视图为背景的几何体的体积．应某某根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.
3. 空间几何体与球接、切问题的求解方法
(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截图，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解.
参考答案
①2πrh ②Sh ③πr2h ④πrl ⑤Sh ⑥πr2h ⑦π(r1＋r2)l ⑧Ch ⑨Sh ⑩Ch′
?Sh ?(C＋C′)h′ ?4πR2 ?
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系
一、必记6个知识点
1．平面的基本性质
表示
公理
文字语言
图形语言
符号语言
公理1
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内
/
/
公理2
①__________的三点，有且只有一个平面
/
A，B，C三点不共线?有且只有一个平面α，使A∈α，B∈α，C∈α
公理3
如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有②______过该点的公共直线
/
?
α∩β＝l，且P∈l
2.空间两条直线的位置关系
(1)位置关系分类：
(2)平行公理(公理4)和等角定理：
平行公理：平行于同一条直线的两条直线⑥________.
等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角⑦________.
(3)异面直线所成的角：
①定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任某某O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的⑧________叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
②范围：⑨____________.
3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系
图形语言
符号语言
公共点
直线与平面
相交
/
⑩________
1个
平行
/
?________
0个
在平面内
/
?________
无数个
平面与平面
平行
/
?________
0个
相交
/
?________
无数个
4.唯一性定理
(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．
(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．
(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
5．异面直线的判定定理
经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．
6．确定平面的三个推论
(1)经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
(2)两条相交直线确定一个平面．
(3)两条平行直线确定一个平面．
二、必明2个易某某
1．异面直线易误解为“分别在两个不同平面内的两条直线为异面直线”，实质上两异面直线不能确定任何一个平面，因此异面直线既不平行，也不相交．
2．直线与平面的位置关系在判断时最易某某“线在面内”．
三、技法
1. 证明空间点共线问题的方法
(1)公理法：一般转化为证明这些点是某两个平面的公共点，再根据公理3证明这些点都在这两个平面的交线上．
(2)纳入直线法：选择其中两点确定一条直线，然后证明其余点也在该直线上．
2．点、线共面的常用判定方法
(1)纳入平面法：先确定一个平面，再证明有关点、线在此平面内．
(2)辅助平面法：先证明有关的点、线确定平面α，再证明其余元素确定平面β，最后证明平面α，β重合.
3. 异面直线的判定方法
(1)反证法：先假设两条直线不是异面直线，即两条直线平行或相交，由假设出发，经过严格的推理，导出矛盾，从而否定假设，肯定两条直线异面．此法在异面直线的判定中经常用到．
(2)定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线.
4. 求异面直线所成的角的三步曲
/
[提醒] 在求异面直线所成的角时，如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角.
参考答案
①过不在一条直线上 ②一条 ③相交 ④平行 ⑤任何一个平面 ⑥平行
⑦相等或互补 ⑧锐角(或直角) ⑨ ⑩a∩α＝A ?a∥α ?a?α
?α∥β ?α∩β＝l
第四节 直线、平面平行的判定和性质
一、必记3个知识点
1．直线与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行(线线平行?线面平行)
/
因为①______，
______，
______，
所以l∥α
性质定理
一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行(简记为“线面平行?线线平行”)
/
因为②______，
______，
______，
所以l∥b
2.平面与平面平行的判定定理和性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行?面面平行”)
/
因为③______，
______，
______，
______，
______，
所以α∥β
性质定理
如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行
/
因为④______，
______，
______，
所以a∥b
3.平行关系中的两个重要结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
二、必明3个易某某
1．直线与平面平行的判定中易某某“线在面内”这一关键条件．
2．面面平行的判定中易某某“面内两条相交线”这一条件．
3．如果一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．
三、技法
1. 判定线面平行的4种方法
(1)利用线面平行的定义(无公共点)．
(2)利用线面平行的判定定理(a?α，b?α，a∥b?a∥α)．
(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a?α?a∥β)//．
(4)利用面面平行的性质(α∥β，a?α，a?β，a∥α?a∥β)．
2．解决直线与平面平行的3个思维趋向
(1)利用线面平行的判定定理证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线．
(2)构造平行的常见形式：三角形的中位线、平行四边形、利用比例关系证明两直线平行等．
(3)在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而在应用性质定理时，其顺序恰好相反.
3. 判定平面与平面平行的5种方法
(1)面面平行的定义，即证两个平面没有公共点(不常用)．
(2)面面平行的判定定理(主要方法)．
(3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(客观题可用)．
(4)利用平面平行的传递性，两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行(客观题可用)．
(5)利用向量法，通过证明两个平面的法向量平行证得两平面平行.
4. 平行关系中的探索性问题，主要是对点的存在性问题的探索，一般用转化方法求解，即先确定点的位置，把问题转化为证明问题，而证明线面平行时又有两种转化方法，一是转化为线线平行，二是转化为面面平行．
5．这类问题也可以按类似于分析法的格式书写步骤：从结论出发“要使……成立”，“只需使……成立”.
参考答案
①l∥a a?α l?α ②l∥α l?β α∩β＝b ③a∥β b∥β a∩b＝P a?α b?α ④α∥β α∩γ＝a β∩γ＝b
第五节 直线、平面垂直的判定和性质
一、必记6个知识点
1．直线与平面垂直
(1)定义：直线l与平面α内的①________一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．
(2)判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直
/
/?l⊥α
性质定理
垂直于同一个平面的两条直线平行
/
/?a∥b
2.直线和平面所成的角
(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的④________叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于某某，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行或在平面内，则它们所成的角是0°的角．
(2)范围：.
3．平面与平面垂直
(1)二面角：从一条直线出发的⑤________所组成的图形叫做二面角．
(2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作⑥________的两条射线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角．
4．平面和平面垂直的定义
两个平面相交，如果所成的二面角是⑦________，就说这两个平面互相垂直．
5．平面与平面垂直的判定定理与性质定理
文字语言
图形语言
符号语言
判定定理
一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直
/
/
?α⊥β
性质定理
两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直
/
/
?l⊥α
6.垂直关系中的两个重要结论
(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．
(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．
二、必明3个易某某
1．证明线面垂直时，易某某面内两条线为相交线这一条件．
2．面面垂直的判定定理中，直线在面内且垂直于另一平面易某某．
3．面面垂直的性质定理在使用时易忘面内一线垂直于交线而盲目套用造成失误．
三、技法
1. 判定线面垂直的四种方法
(1)利用线面垂直的判定定理．
(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”．
(3)利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个也垂直”．
(4)利用面面垂直的性质定理.
2. 面面垂直的证明方法
(1)定义法：利用面面垂直的定义，即判定两平面所成的二面角为直二面角，将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题．
(2)定理法：利用面面垂直的判定定理，即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线，把问题转化成证明线线垂直加以解决．
[提醒] 两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．这是把面面垂直转化为线面垂直的依据．运用时要注意“平面内的直线”.
3. 对于翻折问题，应明确：在同一个平面上的性质不发生变化，不在同一个平面上的性质可能会发生变化．解决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系和几何量的度量值，这是解决翻折问题的主要方法.
参考答案
①任意 ②a∩b＝O ③a⊥α b⊥α ④锐角 ⑤两个半平面 ⑥垂直于某某
⑦直二面角 ⑧l⊥α l?β ⑨α∩β＝a
第六节 空间向量及其运算
一、必记3个知识点
1．空间向量及其有关概念
语言描述
共线向量
(平行向量)
表示空间向量的有向线段所在的直线互相①________
共面向量
平行于②________的向量
共线向
量定理
对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b?存在λ∈R，使③________
共面向
量定理
若两个向量a，b不共线，则向量p与向量a，b共面?存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝④________
空间向量
基本定理
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}使得p＝⑤________
推论：设O、A、B、C是不共面的四点，则对平面ABC内任某某P都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使＝x＋y＋z且x＋y＋z＝1
2.数量积及坐标运算
(1)两个向量的数量积：
(ⅰ)a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．
(ⅱ)a⊥b＝⑥____________(a，b为非零向量)．
(ⅲ)|a|2＝a2，|a|＝.
(2)向量的坐标运算：
a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)
向量和
a＋b＝⑦____________
向量差
a－b＝⑧____________
数量积
a·b＝⑨____________
共线
a∥b?⑩____________(λ∈R，b≠0)
垂直
a⊥b??____________
夹角公式
cos〈a，b〉＝?____________________
3.直线的方向向量与平面的法向量
(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l?________或?________，则称此向量a为直线l的方向向量．
(2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的?________向量a，则向量a叫做平面α的法向量．
二、必明4个易某某
1．共线向量定理中a∥b?存在λ∈R，使a＝ 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)．
(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角．
[提醒] 在求平面的法向量时，若能找出平面的垂线，则垂线上取两个点可构成一个法向量.
2. 利用向量法计算二面角大小的常用方法
(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．
(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.
3. 探索性问题的求解策略
空间向量最适合于解决这类立体几何中的探索性问题，它无需进行复杂的作图、论证、推理，只需通过坐标运算进行判断．
4. 对于存在判断型问题的求解，应某某假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等．
5. 对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数.
参考答案
① ② ③
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