2019湛江零模数学理科答案
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湛江市2019届高三调研测试题
数学（理科）参考答案及评分意见
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1. A 2. D 3. B 4. C 5. A 6. A
7. A 8. D 9. A 10. B 11. B 12. C
11.解：∵数列{an}满足a1=5，且对任意整数n，总有（an+1+3）（an+3）=4an+4成立，
∴8（a2+3）=24，解得a2=0，
3（a3+3）=4，解得，解得a4=㧟5，㧟2（a5+3）=㧟16，
解得a5=5．∴数列{an}是以4为周期的数列，且，
∴．
12.解：的中点记为，则，即到y轴的距离为 的一半。所以圆与y轴的切点，轴，，，代入得．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 2； 14. ； 15.； 16. ．
16.提示：为球心，为的中心，易知当过球心时四面体的体积最大．，，求得
连结并延长交于，，，
由，得：，所以，
所以表面积．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）依题意得
， ………………………………………………1分
∵
∴. ………………………………………………………………………………2分
由及正弦定理可得：，
∴. ………………………………………………………………4分
（Ⅱ）由知，所以为锐角，
， …………………………………………5分
所以 ………………………………………6分
…………………………………………7分
………………………………………………………8分
由及可得出，…………………………………………………9分
所以. …………………12分
（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：设与交于点，连结，……………1分
因为,，为公共边，
所以△ABD≌△CBD，所以∠ABD=∠CBD，
又，所以AC⊥BD，……………………2分
且O为AC中点．又PA=PC，所以PO⊥AC，
又AB⊥BC，所以OA=OB=OC，结合PA=PB，
可得Rt△POA≌Rt△POB，
所以∠POB=∠POA=90°，即PO⊥OB，又OA∩OB=O，
故PO⊥平面ABCD，…………………………………4分
又BD平面ABCD，所以PO⊥BD．
又PO∩AC=O，所以BD⊥平面PAC．………………6分
（Ⅱ）解：以O为原点，建立空间直角坐标系O㧟xyz如图所示，
不妨设OA=1，易得OP=1，OD=，
则P（0，0，1），B（㧟1，0，0），
C（0，1，0），D（，0，0），
所以，，，………………………8分
设平面PBC的法向量为，则
，取，
设直线CD与平面PBC所成角为θ，则
． …………………10分
所以CD与平面PBC所成角的正弦值为．………………………………12分
（本小题满分12分）
（Ⅰ）设“甲、乙两型号的车至少有一台首次出现故障发生在保修期内”为事件A，
则. ………………………………………………………3分
（Ⅱ）依题意得，的分布列为
100
200
300
………………………………………………7分
的分布列为
1 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ，即时，，此时点的坐标为．
…………………………………………………………………10分
23．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）由得：， ……………………………………………1分
∴或， 解得：或．………4分
∴不等式的解集是． ……………………………………………5分
（Ⅱ）令，
则， ………………………………………………7分
∴． ……………………………………………………………………8分
∵存在使不等式成立，∴．
∴． ……………………………………………………………………………10分
注:如上各题若有其它解法，请评卷老师酌情给分.
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