人教版八年级上册数学方法技巧专题 等腰三角形的分类讨论思想
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【初二数学方法技巧专题】等腰三角形的分类讨论思想
等腰三角形是一种特殊而又十分重要的三角形，就是因为这种特殊性，在解有关等腰三角形问题时，当所给的边、角等条件不明确时，常常要进行分类讨论，否则易造成错解.那么在什么情况下应该进行分类讨论呢？下面有4种常考题型，快来和小名老师一起学习一下吧！
类型1 : 针对顶角和底角进行分类
例1.?若等腰三角形中有一个角等于70°，则这个等腰三角形的顶角的度数是(?? ?)
A．70° ? ? ? ?? B．40° ?C．70°或40° ? ? ? D．70°或55°
分析：70°角可能是底角，也可能是顶角.
当70°是底角时，则顶角的度数为180°－70°×2=40°；
当70°角是顶角时，则顶角的度数就等于70°.
所以这个等腰三角形的顶角为30°或75°. 故应选C.
变式
1、已知一个等腰三角形中有一个角为100°，则这个等腰三角形的顶角为--------?? ??.
方法归纳：对于一个等腰三角形，若条件中并没有确定顶角或底角时，应注意分情况讨论，先确定这个已知角是顶角还是底角，再运用三角形内角和定理求解.
类型2: 针对腰长和底边长进行分类
题型1 ?遇边需讨论
例2?已知等腰三角形一边长等于5，另一边长等于9，则它的周长是---------? ? ? .
分析：已知条件中并没有指明5和9谁是腰长谁是底边的长，因此需要针对腰长及底边长分别是哪一个进行分类谈论.
当5是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是9，则此时等腰三角形的周长等于5+5+9=19；
当9是等腰三角形的腰长时，这个等腰三角形的底边长就是5，则此时等腰三角形的周长等于9+9+5=23.故这个等腰三角形的周长等于19或23.
方法归纳：在已知条件中没有明确等腰三角形的腰长和底边长时，应分类讨论.分类讨论时，还要判断所给的三边能否构成三角形，避免造成错解.
题型2 遇中线需讨论
例3?已知等腰△ABC中，一腰AC上的中线BD将三角形的周长分成9?cm和12?cm两部分，则这个三角形的腰长和底边长分别为----------?? ? ? ? ?.
分析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm，哪一部分是12cm，因此，应有两种情形：
①AB+AD=9,BC+CD=12；
②AB+AD=12,BC+CD=9.
若设这个等腰三角形的腰长是xcm，底边长为ycm，可得：
即当腰长是6 cm时，底边长是9 cm；当腰长是8 cm时，底边长是5 cm.
3、变式
若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm和15cm两部分，则这个等腰三角形的底和腰的长分别为-----------? ? ??.
易错警示：这里求出来的解验证一下三角形的边满足三角形三边关系定理，如果不满足一定要舍去.
类型3： 针对三角形的形状进行分类
题型1 ?遇高需讨论
例4 ?已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，求这个等腰三角形的底角的度数．
分析：本题中等腰三角形腰上的高可能在三角形内部，也可能在三角形外部，故应分原三角形为锐角三角形和钝角三角形进行分类求解.
详解：分两种情况讨论：
①若∠A＜90°，如图1所示．
∵BD⊥AC，∴∠A＋∠ABD＝90°.
∵∠ABD＝36°，∴∠A＝90°－36°＝54°.
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝1/2×(180°－54°)＝63°.
②若∠A＞90°，如图2所示．
同①可得∠DAB＝90°－36°＝54°，
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠C＝1/2∠DAB＝27°.
综 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 点C1,C2即为所求点；③当CA＝CB时，做线段AB的垂直平分线与直线l的交点C4即为所要求点.所以使ΔABC为等腰三角形这样的C 点有4个
方法指导： 等腰三角形的存在性问题方法常用两圆一线。
模型归纳：两圆一线模型
如图，已知线段AB，在平面内找一点C使得ΔABC为等腰三角形，这样的点C的集合如下图所示，在以点A,B分别为圆心且AB为半径的圆和AB的垂直平分线上，除了与AB在同一直线上的点外的所有点，简称“两圆一线”.
练习
如图，在平面直角坐标系中，点A（2，1），点P在坐标轴上，若以P,O,A为顶点的三角形时等腰三角形，则满足条件的点P共有? ? ? ? ? ??个.
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