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1.1 1.1.1 1.1.2 应用案巩固提升

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[学生用书P69(单独成册)]

[A　基础达标]

1．(2019·*_**若函数y＝2x2－1的图象上一点(1，1)及邻近一点(1＋Δx，1＋Δy)，则等于(　　)

A．4　　　　　　　　　 B．4＋2Δx

C．4＋Δx D．4Δx＋(Δx)2

解析：选B.＝＝4＋2Δx.

2．已知函数f(x)＝x2＋4上两点A，B，xA＝1，xB＝1.3，则直线AB的斜率为(　　)

A．2 B．2.3

C．2.09 D．2.1

解析：选B.f(1)＝5，f(1.3)＝5.69.

所以kAB＝＝＝2.3，故应选B.

3．某物体的运动规律是s＝s(t)，则该物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是(　　)

A．＝＝

B．＝

C．＝

D．＝

解析：选A.由平均速度的定义可知，物体在t到t＋Δt这段时间内的平均速度是其位移改变量与时间改变量的比．

所以＝＝.

4．已知f(x)＝x2－3x，则f′(0)＝(　　)

A．Δx－3 B．(Δx)2－3Δx

C．－3 D．0

解析：选C.f′(0)＝＝＝ (Δx－3)＝－3.

5．若可导函数f(x)的图象过原点，且满足＝－1，则f′(0)＝(　　)

A．－2 B．－1

C．1 D．2

解析：选B.因为f(x)的图象过原点，所以f(0)＝0，

所以f′(0)＝＝＝－1，故选B.

6．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是________．

解析：由平均速度和瞬时速度的关系可知，v＝s′(1)

＝ (－3Δt－6)＝－6.

答案：－6

7．设f(x)＝t2x，若f′(1)＝4，则t＝________．

解析：因为f′(1)＝＝t2＝4，所以t＝±2.

答案：±2

8．函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，则t＝________．

解析：因为函数f(x)＝x2－x在区间[－2，t]上的平均变化率是2，

所以＝＝2，

即t2－t－6＝2t＋4，从而t2－3t－10＝0，解得t＝5或t＝－2(舍去)．

答案：5

9．已知函数f(x)＝xα(α∈Q)，试求：

(1)当α＝1时，函数f(x)在x＝x0处的导数；

(2)当α＝－1时，函数f(x)在x＝3处的导数及x＝x0处的导数．

解：(1)当α＝1时，f(x)＝x，Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)－x0＝Δx，所以＝＝1，所以f′(x0)＝1.

(2)当α＝－1时，f(x)＝，Δy＝f(3＋Δx)－f(3)＝－＝－，所以＝－，

所以f′(3)＝＝－.

又Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝－＝－，

所以＝－，

所以f′(x0)＝＝－.

10．某赛车比赛中，一赛车的位移s(单位：m)与比赛时间t(单位：s)存在函数关系s＝10t＋5t2.

(1)当t＝20，Δt＝0.1时，求Δs与的值；

(2)求当t＝20时的瞬时速度．

解：(1)Δs＝s(20＋Δt)－s(20)

＝10×(20＋0.1)＋5×(20＋0.1)2－10×20－5×202

＝1＋20＋5×0.01

＝21.05，

所以＝＝210.5.

(2)易得＝＝5Δt＋210，

当Δt趋于0时，趋于210，

所以赛车在t＝20时的瞬时速度为210 m/s.

[B　能力提升]

11．设函数f(x)在x＝2处的导数存在，则＝(　　)

A．－2f′(2) B 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。为＝，在上的平均变化率为＝，因为2－，

故函数y＝sin x在上的平均变化率较大．

14．(选做题)枪弹在枪筒中可以看作匀加速直线运动，如果它的加速度是a＝5×105 m/s2，枪弹从枪口射出时所用的时间为1.6×10－3 s．求枪弹射出枪口时的瞬时速度．

解：运动方程为s＝at2.

因为Δs＝a(t0＋Δt)2－at

＝at0Δt＋a(Δt)2，

所以＝at0＋aΔt.

所以＝at0.

由题意知，a＝5×105 m/s2，t0＝1.6×10－3 s，

所以at0＝8×102＝800(m/s)．

即枪弹射出枪口时的瞬时速度为800 m/s.

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