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XX大学201 7年 上学期

20 15 级《复变函数》课程考试试卷答案

（A卷） 适用专业 数学与计算***所有专业

考试方式开卷（闭卷） 考试时间 120 分钟

学院 专业 班级

学号 姓名

题

号

 一

 二

 三

 四

 五

 六

 七

 八

 总分

 阅卷

教师



得

分

























…………………………………………………………………………………………………………………………

得

分







一、选择题（每小题3 分，共15分）

1．复变函数
在
处的奇点性质为（ C ）；

(A) 可去奇点 (B)
阶极点 (C)
阶极点 (D)
阶极点

2．下列命题中，不正确的是（ C ）；

(A) 设
在
点解析，那么
在
点存在任意阶导数。

(B) 设
在复平面上解析且非常数值，那么
在复平面上一定是无界的。

(C) 设
和
区域
内解析，且在
内存在一个点列
，使得
和
在
那么
和
在整个区域
上相等。

(D) 设
在扩充复平面上除极 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ，有

，所以
．（5分）

在区域
内，有

，所以
．（5分）

得

分





五、（10分）已知调和函数
，求满足条件
的解析函数
，其中
，．

解：
，
．（2分）

于是
，（2分）

化简得到
，（2分）

求不定积分可得
，其中
为待定实常数．（2分）

因为
，所以
，
．（2分）

得

分





六、（12分）求一个将带形区域
映射成单位圆
的共形映射
，并且符合条件
．

解：作伸缩变换
，将区域
映射成区域
；（3分）

指数变换
，将区域
映射成上半平面；（3分）

此时有
，（3分）

作分式线性变换
，
可为任意实数．（3分）

不妨取
，那么可得到满足题意的共形映射
．

得

分







七、（12分）计算广义积分
．

解：令
，选取封闭曲线
，（2分）

其中
分别是以
为半径的上半圆周．

那么，
．（3分）

因为
，

所以
．（3分）

而

根据大圆弧引理和小圆弧引理，有

（3分）

所以

． （1分）

得

分







八、（14分）对于正向单位圆周
，计算积分
，其中
分别为

（1）
； （2）
．

解：（1）函数
在
内部包含奇点
（1分）

所以
（2分）

（3分）

（2）函数
在扩充复平面上包含奇点
，其中
在
内部（1分）

所以
．（3分）

而
，
，（3分）

因此

（1分）

（利用洛朗级数-1幂项求出被积函数在
的留数也可以得到正确答案）

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