三角恒等变换习题课练习题及答案
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三角恒等变换习题课
1．若tanα＝3，tan（2α㧟β）＝㧟1，则tan（α㧟β）＝（ ）
A．2 B．㧟2 C．
3
D．?
3
【解析】解：由tanα＝3，tan（2α㧟β）＝㧟1，
所以tan（α㧟β）＝tan[（2α㧟β）㧟α]=
??????(2?????)?????????
1+??????(2?????)????????
=
(?1)?3
1+(?1)×3
=2．
故选：A．
2．已知sin（
??
5
?α）=
1
4
，则cos（2α+
3??
5
）＝（ ）
A．?
7
8
B．
7
8
C．
1
8
D．?
1
8
【解析】解：∵??????(
??
5
???)=
1
4
，
即sin（???
??
5
）=?
1
4
由??????(2??+
3??
5
)=cos[（2α+（???
2??
5
）]＝㧟cos（2α?
2??
5
）＝㧟cos2（a?
??
5
）＝㧟1+2sin2（???
??
5
）=?
7
8
．
故选：A．
3．若??????(
??
2
???)=?
4
5
，??∈(?
??
2
，0)，则
??????2??
1+??????2??
=（ ）
A．?
4
3
B．
4
3
C．?
3
4
D．
3
4
【解析】解：∵??????(
??
2
???)=?
4
5
，??∈(?
??
2
，0)，
∴sinα=?
4
5
，cosα=
1?????
??
2
??
=
3
5
，
∴
??????2??
1+??????2??
=
2????????????????
2????
??
2
??
=
????????
????????
=?
4
3
．
故选：A．
4．已知??∈(?
??
2
，0)，且cos2θ+sinθ＝0，则??????(??+
??
4
)=（ ）
A．
2?
3
2
B．
6
?
2
4
C．
6
+
2
4
D．
2+
3
4
【解析】解：∵??∈(?
??
2
，0)，且cos2θ+sinθ＝0，
∴可得1㧟2sin2θ+sinθ＝0，可得2sin2θ㧟sinθ㧟1＝0，
∴解得sinθ=?
1
2
，或1（舍去），
∴cosθ=
1?????
??
2
??
=
3
2
，
∴??????(??+
??
4
)=
2
2
×（?
1
2
+
3
2
）=
6
?
2
4
．
故选：B．
5．已知??????2??=
2
??????(???
??
4
)??????(??+??)，sinα≠0，则??????(
??
3
+??)的值为（ ）
A．?2?
3
B．2+
3
C．2+
3
或
3
D．2?
3
或
3
【解析】解：∵??????2??=
2
??????(???
??
4
)??????(??+??)=
2
×（
2
2
sinα?
2
2
cosα）（㧟cosα）＝cos2α㧟sinαcosα，
∴2cos2α㧟1＝cos2α㧟sinαcosα，可得：sin2α＝sinαcosα，
∵sinα≠0，
∴tanα＝1，
∴??????(
??
3
+??)=
??????
??
3
+????????
1???????
??
3
????????
=
3
+1
1?
3
=?2?
3
．
故选：A．
6．已知
??????22.5°+????????22.5°
??????22.5°?????????22.5°
=???????22.5°，则实数m的值为（ ）
A．?
3
B．
3
C．㧟1 D．1
【解析】解：由题意得
??????22.5°+????????22.5°
??????22.5°?????????22.5°
=?
??????22.5°
??????22.5°
，
所以sin22.5°cos22.5°+mcos222.5°＝msin222.5°㧟sin22.5°cos22.5°，
移项得m（cos222.5°㧟sin222.5°）＝㧟2sin22.5°cos22.5°，
所以mcos45°＝㧟sin45°，即m＝㧟1．
故选：C．
7．
1?
??????
2
105°
1+
??????
2
105°
=（ ）
A．
1
2
B．?
1
2
C．
3
2
D．?
3
2
【解析】解：
1?
??????
2
105°
1+
??????
2
105°
=
????
??
2
105°?????
??
2
105°
????
??
2
105°+????
??
2
105°
=cos210°＝㧟cos30°=?
3
2
．
故选：D．
8．若??????(
??
4
???)=
5
5
，则sin2α＝（ ）
A．?
3
5
B．
3
5
C．?
4
5
D．
4
5
【解析】解：法一：根据已知，有??????2??=??????(
??
2
?2??)=2????
??
2
(
??
4
???)?1=2×(
5
5
)
2
?1=?
3
5
．
法二：由??????(
??
4
???)=
5
5
得????????+????????=
10
5
，两边平方得1+2????????????????=
2
5
，
所以2????????????????=?
3
5
，即??????2??=?
3
5
．
故选：A．
9．已知
1+??????2??
2????????+??????2??
=
3
，则
????????
1?????????
的值为（ ）
A．?
3
3
B．?
3
C．
3
3
D．
3
【解析】解：∵
1+??????2??
2????????+??????2??
=
3
，
∴
2????
??
2
??
2????????+2????????????????
=
????????
1+????????
=
3
，
∵
????????
1?????????
?
????????
1+????????
=
????
??
2
??
1?????
??
2
??
=
????
??
2
??
????
??
2
??
=1，
∴
????????
1?????????
=
1
3
=
3
3
．
故选：C．
10．tan15°?
1
??????15°
=（ ）
A．?
2
3
3
B．2
3
C．?2
3
D．4
【解析】解：因为tan15°?
1
??????15°
=
??????15°
??????15°
?
??????15°
??????15°
=
????
??
2
15°?????
??
2
15°
??????15°??????15°
=
???????30°
1
2
??????30°
=?2
3
；
故选：C．
11．若0＜??＜
??
2
，0＜??＜
??
2
，??????(
??
3
?
??
2
)=
5
5
，??????(
??
2
?
??
3
)=
4
5
，则??????
?????
2
的值为（ ）
A．
5
5
B．
11
5
25
C．
2
5
5
D．
7
5
25
【解析】解：因为0＜α＜
??
2
，所以
??
12
＜
??
3
?
??
2
＜
??
3
，
又sin（
??
3
?
??
2
）=
5
5
，所以cos（
??
3
?
??
2
）=
2
5
5
，
因为0＜β＜
??
2
，所以?
??
3
＜
??
2
?
??
3
＜?
??
12
，
又cos（
??
2
?
??
3
）=
4
5
，所以sin（
??
2
?
??
3
）=?
3
5
，
所以??????
?????
2
=cos
?????
2
=cos[（
??
2
?
??
3
）+（
??
3
?
??
2
）]
＝cos（
??
2
?
??
3
）cos（
??
3
?
??
2
）㧟sin（
??
2
?
??
3
）sin（
??
3
?
??
2
）
=
4
5
×
2
5
5
?（?
3
5
）×
5
5
=
11
5
25
．
故选：B．
12．设α，β满足??????(??+
3??
4
)=3，??????(??+
??
4
)=2，则tan（α+β）＝（ ）
A．㧟1 B．?
1
2
C．
1
7
D．1
【解析】解：∵α，β满足??????(??+
3??
4
)=3=tan（α?
??
4
），??????(??+
??
4
)=2，
则tan（α+β）＝tan[（α?
??
4
）+（β+
??
4
）]=
??????(???
??
4
)+??????(??+
??
4
)
1???????(???
??
4
)??????(??+
??
4
)
=
3+2
1?3×2
=?1，
故选：A．
13．若对任意x∈R，都有??????(2???
5??
6
)=??????(????+??)(??∈??，|??|＜??)，则满足条件的有序实数对（ω，φ）的对数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【解析】解：??????(2???
5??
6
)=??????(2???
??
3
?
??
2
)=??????(2???
??
3
)，
由条件知ω＝±2．
若ω＝2，
由??=?
??
3
+2????(??∈??)，且|φ|＜π，得??=?
??
3
，
若ω＝㧟2，sin（㧟2x+φ）＝sin（2x+π㧟φ），
则?????=?
??
3
+2????(??∈??)，
所以??=?2????+
4??
3
(??∈??)，
又|φ|＜π，
则??=?
2??
3
．
故选：C．
14．若sinα＝2cosα，则
??????
2
2???2
??????
2
2??
??????(???4??)
= ．
【解析】解：∵sinα＝2cosα，
∴tanα＝2，则??????2??=
2????????
1?
??????
2
??
=?
4
3
．
∴
??????
2
2???2
??????
2
2??
??????(???4??)
=
??????
2
2???2
??????
2
2??
??????4??
=
??????
2
2???2
??????
2
2??
2??????2????????2??
=
??????
2
2???2
2??????2??
=
(?
4
3
)
2
?2
2×(?
4
3
)
=
1
12
．
故答案为：
1
12
．
15．已知函数f（x）＝2sin2x+
3
asin2x的最大值为3，则实数a的值为 ．
【解析】解：因为??(??)=2????
??
2
??+
3
????????2??=1???????2??+
3
????????2??=
3
??
2
+1
??????(2??+??)+1，其中????????=?
3
3??
，
所以f（x）的最大值为
3
??
2
+1
+1=3，解得a＝±1．
故答案为：±1．
16．方程sinx=
1
3
+
??????2??
3??????2??
在区间[0，2π]上的解为 ．
【解析】解：原方程右边=
1
3
+
??????2??
3??????2??
??????2??
=
1+??????2??
3
=
2?2????
??
2
??
3
，
故原方程可化为：????????=
2?2????
??
2
??
3
，即2sin2x+3sinx㧟2＝0，
解得????????=
1
2
或????????=?2(舍)，
故sinx=
1
2
，又∵??∈[0，2??]，
∴??=
??
6
或
5??
6
．
故答案为：
??
6
或
5??
6
．
17．已知α，β，γ∈（0，
??
2
），sinα+sinγ＝sinβ，cosβ+cosγ＝cosα，则cos（α㧟β）＝ ，α㧟β＝ ．
【解析】解：由sinα+sinγ＝sinβ，cosβ+cosγ＝cosα，
得sinα㧟sinβ＝㧟sinγ，cosα㧟cosβ＝cosγ；
所以（sinα㧟sinβ）2+（cosα㧟cosβ）2＝（㧟sinγ）2+cos2γ；
即2㧟2sinαsinβ㧟2cosαcosβ＝1，
所以2㧟2cos（α㧟β）＝1，
解得cos（α㧟β）=
1
2
；
又α，β，γ∈（0，
??
2
），所以sinα㧟sinβ＝㧟sinγ＜0，
所以sinα＜sinβ，
所以0＜α＜β＜
??
2
，
所以?
??
2
＜α㧟β＜0，
所以α㧟β=?
??
3
．
故答案为：
1
2
，?
??
3
．
18．若函数??(??)=??????(2??+??)+
3
??????(2??+??)（|??|＜
??
2
）的图象关于点??(
??
4
，0)成中心对称，则函数f（x）在[?
??
6
，
??
6
]上的最小值与最大值的和是 ．
【解析】解：??(??)=??????(2??+??)+
3
??????(2??+??)=2??????(2??+??+
??
3
)，
则由题意，知??(
??
4
)=0，又|??|＜
??
2
，
∴??=
??
6
，
所以??(??)=2??????(2??+
??
2
)=2??????2??，
又??∈[?
??
6
，
??
6
]，∴2??∈[?
??
3
，
??
3
]，
f（x）max＝f（0）＝2，??(??
)
??????
=??(?
??
6
)=??(
??
6
)=1/，
∴f（x）max+f（x）min＝3．
故答案为：3
19．若钝角θ满足3tan2θ＝8tanθ，则
?????????????????
????????+????????
= ．
【解析】解：由题意，设x＝tanθ＜0，
∵3tan2θ＝8tanθ，
∴
2??
1?
??
2
=
8
3
??．
∵x＜0，
∴??=?
1
2
．
∴
?????????????????
????????+????????
=
???1
??+1
=?3．
故答案为：㧟3．
20．（1+tan19°）?（1+tan26°）＝ ．
【解析】解：因为（1+tan19°）?（1+tan26°）
＝1+tan19°+tan26°+tan19°tan26°
＝1+tan（19°+26°）（1㧟tan19°tan26°）+tan19°tan26°
＝1+1㧟tan19°tan26°+tan19°tan26°
＝2；
故答案为：2．
21．已知??????(??+
??
4
)=
1
4
且??∈(?
??
4
，
??
4
)，则cos8x+2sin5xsin3x＝ ．
【解析】解：cos8x+2sin5xsin3x
＝cos（5x+3x）+2sin5xsin3x
＝cos5xcos3x㧟sin5xsin3x+2sin5xsin3x
＝cos5xcos3x+sin5xsin3x
＝cos（5x㧟3x）
＝cos2x，
因为??∈(?
??
4
，
??
4
)，
所以??+
??
4
∈(0，
??
2
)．
因为??????(??+
??
4
)=
1
4
，
所以??????(??+
??
4
)=
15
4
，
所以??????2??=??????(2??+
??
2
)=??????2(??+
??
4
)=2??????(??+
??
4
)??????(??+
??
4
)=2×
15
4
×
1
4
=
15
8
，即??????8??+2??????5????????3??=
15
8
．
故答案为：
15
8
．
22．已知sin（α+
??
4
）=
6
6
，α∈（0，π），则cos（2α+
??
6
）＝ ．
【解析】解：sin（α+
??
4
）=
2
2
（sinα+cosα）=
6
6
，则有sinα+cosα=
3
3
，
两边平方可得：1+sin2α=
1
3
，则sin2α=?
2
3
，即有2sinαcosα＜0
又因为α∈（0，π），所以sinα＞0，cosα＜0，
则sinα㧟cosα=
(?????????????????
)
2
=
1???????2??
=
15
3
，
（法一）将sinα㧟cosα=
15
3
与sinα+cosα=
3
3
联立后解得sinα=
3
+
15
6
，cosα=
3
?
15
6
，
则cos2α＝2cos2α㧟1＝2×（
3
?
15
6
）2㧟1=?
5
3
，
所以cos（2α+
??
6
）=
3
2
×（?
5
3
）?
1
2
×（?
2
3
）=
2?
15
6
．
（法二）因为cos2α＝cos2α㧟sin2α＝㧟（sinα+cosα）（sinα㧟cosα）=?
3
3
×
15
3
=?
5
3
，
所以cos（2α+
??
6
）=
3
2
×（?
5
3
）?
1
2
×（?
2
3
）=
2?
15
6
．
故答案为：
2?
15
6
．
23．已知函数??(??)=????
??
2
??+2
3
????????????????+??????(??+
??
4
)??????(???
??
4
)．
（1）求f（x）的对称中心；
（2）若??=
??
0
(0≤
??
0
≤
??
2
)为f（x）的一个零点，求cos2x0的值．
【解析】解：（1）函数??(??)=????
??
2
??+2
3
????????????????+??????(??+
??
4
)??????(???
??
4
)
=
1???????2??
2
+
3
sin2x+
2
2
（sinx+cosx）?
2
2
（sinx㧟cosx）
=
1
2
?
1
2
cos2x+
3
sin2x+
1
2
（sin2x㧟cos2x）
=
1
2
?
1
2
cos2x+
3
sin2x?
1
2
cos2x
=
1
2
+
3
sin2x㧟cos2x
=
1
2
+2sin（2x?
??
6
）；
令2x?
??
6
=kπ，k∈Z；
解得x=
????
2
+
??
12
，k∈Z；
所以f（x）的对称中心为（
????
2
+
??
12
，
1
2
），k∈Z；
（2）若??=
??
0
(0≤
??
0
≤
??
2
)为f（x）的一个零点，
则
1
2
+2sin（2x0?
??
6
）＝0，
所以sin（2x0?
??
6
）=?
1
4
；
由x0∈[0，
??
2
]知，2x0?
??
6
∈[?
??
6
，
5??
6
]，
所以2x0?
??
6
∈[?
??
6
，0]；
所以cos（2x0?
??
6
）=
1
?(?
1
4
)
2
=
15
4
，
所以cos2x0＝cos[（2x0?
??
6
）+
??
6
]
＝cos（2x0?
??
6
）cos
??
6
?sin（2x 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 6
）+
3
sin（ωx+
??
3
）㧟1=
3
??????(????+
??
3
)???????(????+
??
3
)=2??????(????+
??
3
?
??
6
)=2sin（ωx+
??
6
）．
由于函数f（x）的最大值为f（
??
2
），
所以2??????(
??
2
??+
??
6
)=2，当0＜ω＜1时，故??=
2
3
．
所以f（x）=2??????(
2
3
??+
??
6
)，故函数的最小正周期为
2??
2
3
=3??．
（2）由于函数f（x）＝2sin（ωx+
??
6
）
函数f（x）在区间（π，2π）内不存在零点，
则：（ωπ+
??
6
，2ωπ+
??
6
）?（kπ，kπ+π），
即：
????+
??
6
≥????
2????+
??
6
≤????+??
，
则：???
1
6
≤??≤
??
2
+
5
12
（k∈Z）．
由于???
1
6
≤
??
2
+
5
12
（k∈Z），
所以k≤
7
6
，
即k＝0，1．
所以正实数ω的取值范围为（0，
5
12
]∪[
5
6
，
11
12
]．
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