毕达哥拉斯的朋友数及完美数
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毕达哥拉斯的朋友数及完美数
毕达哥拉斯对数字有很多发现。比如“朋友”数字。毕达哥拉斯认为朋友就是另一个自我(这很象许多流行的警语，一个精彩的箩筐，能往里放很多喜欢的东西)。数字里也有朋友，220和284，每一个都等于对方除数的和。(220的整除数有：12 4 5 10 11 20 22 44 55 110，和为 248，248的整除数有：1 2 71 142，其和为 220)。另一对朋友数字是到两千多年后的1636年，由费某某(Pierre de Ferman)发现的: 是17296和18416。后来的数学家们又发现了许多。值得一提的是其中大约第六十对，也是最小的一对1184和1210，是在1866由一个十六岁的意大利学生发现的。
毕达哥拉斯更喜欢完美数，即其所有整除数的和为自身。如6的整除数为1 2 3，其和为 6， 28的整除数为 1 2 4 7 14，其和为 28。除6和28外，古希腊人还知道496和 8128，第五个完美数33，550，336是七百多年后发现的。到一九九八年四月，共发现有37个完美数，都是偶数。
17世纪，法国著名数学家费马（P·Fermat, 1608-1665)曾得到一个后人以其名字命名的定理：如果n为素数，a为任意自然数，那么a2-a（an-a）是n的倍数。上述定理的逆命题是否成立呢？费马之后，研究者数不胜数。德国著名数学家莱布尼兹(G.W.Leibniz, 1646-1716)就曾某某：如果n不是素数，那么2n-2就不是n的倍数。因此，在莱布尼兹看来，当a=-2（2）时，费马定理的逆命题是成立的：如果an-a是n的倍数，那么n必为素数。
无独有偶，中国清代大数学家李某某(1811-1882)于1869年归纳得到了一个判定素数(李某某称之为“数根”)的方法：用2的对数（删除）乘已知数，以该乘积作为2的幂指数所得的值作为对数值，求出相应的真数，从中减去2。（
log
2
2
2??
?2 ）如果余数能被已知数整除，则己知数为素数；否则，它就不是素数。上述方法简单地说来就是：设n为已知自然数，如果2 n-2是n的倍数，那么n是素数，否则n就不是素数。一个名叫萨吕斯（A·Sarrus)的数学家所发现的反例彻底否定了莱布尼兹和李某某的结论：尽管2341-2（2×341），是341的倍数，但341=11×31却是一个合数！后来人们又相继发现了更多的反例：561, 645, 1105, 1387, 1729, 1905, 2407，……数论中由不完全归纳得到的结论有时往往并不正确。像这样，介绍历史上数学家的种种失误、数学发展的曲折艰辛，可以改变学生对错误的错误看法。让他们明白：“高贵”如数学也不过是人类的一种文化活动，任何学习和研究都会遭遇错误、挫折和失败。因此，用数学史来改变学生的错误观，是很有效的方法。
费某某猜想：大师的失误
1640年，在数论领域留下不可磨灭足迹的费马思考了一个问题：式子22n+1 的值是否一定为素数。当 n取0、1、2、3、4时，这个式子对应值分别为3、5、17、257、65537，费马发现这五个数都是素数。由此，费马提出一个猜想：形如22n+1的数一定为素数。在给朋友的一封信中，费马写道：“我已经发现形如22n+1的数永远为素数。很久以前我就向分析学家们指出了这个结论是正确的。”费马同时坦白承认，他自己未能找到一个完全的证明。费马所研究的22n+1（2^2n+1）这种具有美妙形式的数，后人称之为费某某，并用Fn 表示。费马当时的猜想相当于说：所有费某某都一定是素数。费马是正确的吗？进一步验证 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 费某某进行了研究。
随着电子计算机的发展，计算机成为数学家研究费某某的有力工具。
但即使如此，在所知的费某某中竟然没有再添加一个费马素数。
迄今为止，费马素数除了被费马本人所证实的那五个外没有再发现一个。
实际上，几千年来，数学家们一直在寻找这样的一个能求出所有质数的公式，但直到现在，谁也未能找到这样一个公式，而且谁也未能找到证据，说这样的公式就一定不存在或者这样的公式存不存在，这也就成了一个著名的数学难题。
虽然费某某作为一个关于指数公式的尝试失败了，但有意思的是，1801年数学家高斯证明了如果费某某K为质数，那么就可以用直尺和圆规将圆周K等分。高斯本人就根据这个定理作出了正十七边形。
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