初中数学竞赛最值问题求法应用举例
以下为《初中数学竞赛最值问题求法应用举例》的无排版文字预览，完整内容请下载
初中数学竞赛中最值问题求法应用举例
最值问题是数学竞赛中考试的重要内容之一，任何一级、任何一年的竞考都是必考内容。现根据我在辅导学生过程中的体会归纳整理如下：
根据非负数的性质求最值。
若M =（x±a）2 +b ，则当x±a = 0时M有最小值b 。
若M = -（x±a）2 + b ,则当x±a = 0 时M有最大值b 。
用（a±b）2≥0 ，"#a"#≥0,≥0的方法解题。
【说明：这里用到的很重要的思想方法是配方法和整体代换思想。】
例题（1）若实数a ，b ，c 满足a2 + b2 + c2 = 9，则代数式
（a-b）2 + （b-c）2 +（c-a）2的最大值是 （ ）
A.27 B、18 C、15 D、12
解：(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2= 2(a2+b2+c2)-2ab-2bc-2ca
= 3(a2+b2+c2)-a2-b2-c2-2ab-2bc-2ca
= 3(a2+b2+c2)-(a2+b2+c2＋2ab＋2bc＋2ca)
=3(a2+b2+c2)-(a+b+c)2 = 27-(a+b+c)2 ≤ 27 .
∵a2+b2+c2 = 9 ,
∴ a,b,c 不全为0 。
当且仅当a + b + c = 0 时原某某的最大值为 27 。
【说明:本例的关键是划线部份的变换，采用加减(a2＋b2＋c2)后用完全平方式。】
例题（2）如果对于不小于8的自然数N ，当3N+1是一个完全平方数时，N + 1都能表示成K个完全平方数的和，那么K的最小值是 （ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
解：设 ∵ 3N+1是完全平方数，
∴ 设 3N+1 = X2 （N≥ 8），则3不能整除X，
所以X可以表示成3P±1的形式。
3N＋1=（3P±1）2= 9P2±6P+1=3X2±2X+1=X2+X2+（X±1）2。
即3N+1能够表示成三个完全平方数的和。
所以K的最小值为 3 。选 C 。
【说明，本例的关键是如何把3X2拆成X2＋X2＋X2，然后配方求解。】
例题（3）设a、b为实数，那么a2＋ab＋b2-a-2b的最小值是___________。
解：a2＋ab＋b2-a-2b = a2＋(b-1)a＋b2-2b
= a2＋(b-1)a＋()2＋b2-b-
=(a＋)2＋(b-1)2-1 ≥ -1 。
只有当a＋= 0且b-1= 0 时，即a=0，b=1时取等号。
所以原某某的最小值是-1。
【注意：做这一类题的关键是先按一个字母降幂排列，然后配方。】
例题（4）、已知实数a、b满足a2＋ab＋b2=1 ，则a2-ab＋b2的最小值和最大值的和是___ 。
解：设a2-ab＋b2 = K,与a2＋ab＋b2 =1联立方程组,解得：
a2＋b2 =(1＋K),ab =(1-K)。
∵(a＋b)2≥0, ∴a2＋b2＋2ab=(1＋K)＋2×(1-K)≥0,
∴K≤3 . ∵(a-b)2≥0,
∴a2＋b2-2ab = (1＋K)-2×(1-K)≥0,
∴K≥ . 得 ≤K≤3 。
所以 a2-ab＋b2的最小值是，最大值是3 ，这两个值的和是3 。
【本题的关键在于直接运用（a±b）2≥0 】
例题5、若a、b满足3＋5"#b"#= 7 ，则S = 2-3"#b"#的最大值为___________ ，最小值为__________ 。
解：联立3 ＋5|b| = 7和S = 2-3|b|两式，解得19= 21＋5S，19|b|=14-3S 。∵ 19≥0,∴21＋5S≥0,S≥- 。
∵19"#b"#≥0,∴14-3S≥0 ,
∴S ≤ , 得 -≤S≤ 。
所以S的最大值为 ，最小值为- 。
【说明：这里直接运用了"#a"#≥0和≥0 】
（二）、直接运用a2＋b2 ≥ 2ab ( a＋b≥ 2 )性质求最值。
例题（6）若X > 0，则函数Y = ＋＋的最小值。
解：原某某 = ＋＋
= ＋＋＋
≥2＋2 = 2＋2 = 4 。
所以原某某的最小值是 4 。
【说明：这个公式的来源是由(a-b)2≥0直接推出的。】
例题（7）已知 a、b、c、d均为实数，且a＋b＋c＋d = 4 ，a2＋b2＋c2＋d2 = ，求a的最小值与最大值。
解：∵a＋b＋c＋d = 4 , ∴b＋c＋d = 4- a ,
∴ (b＋c＋d)2 = b2＋c2＋d2＋2bc＋2cd＋2bd
≤b2＋c2＋d2＋(b2＋c2)＋(c2+d2)+(d2+b2)=3(b2+c2+d2)
∵b＋c＋d = 4-a, ∴(b＋c＋d)2 = (4-a)2 .
∵ a2＋b2＋c2＋d2 = ,
∴b2＋c2＋d2 = -a2 。
∴ （4-a）2≤ 3×(-a2) ,化简得 a(a-2)≤ 0 ,解得0≤ a ≤2 。
∴ a的最小值是0 ，a的最大值是2 。
【说明，本例的关键是划线部份的变换逆用了a2＋b2≥2ab,从而达到了把(b＋c＋d)以及b2＋c2＋d2都用a替换的目的。】
（三） 用一元二次方程根的判别式Δ=b2-4ac（结合韦达定理）求最值。
例题（8） 已知实数a、b、c满足a＋b＋c = 2 ，abc = 4 ，求a、b、c中最大者的最小值 ；求"#a"#＋"#b"#＋"#c"#的最小值。
解：设a为最大者，则由题意得 b＋c=2-a,bc= ,
由韦达定理得b、c是关于X的二次方程X2-(2-a)X＋=0的两个实数根。
∴Δ=（2-a）2-4×1×≥0 ,展开后整理并分解因式得(a2＋4)(a-4)≥4 ,
∴ a≥4。所以最大数a的最小值是4 。
【即当b=c=-1时a取最小值。划线部份转化为二次方程根与系数关系是关键。另外设a、b、c哪个最大是等价的。】
由知最大数a的最小值为4，所以a、b、c不可能全为正，
那么只可能是两负一正，若a为正，则b、c均为负，
∴"#a"#＋"#b"#＋"#c"#= a-b-c = 2a-2≥0 ,
∵a≥4, ∴"#a"#＋"#b"#＋"#c"#≥6 .
∴"#a"#+"#b"#＋"#c"#的最小值是6 。
例题（9） 求函数Y = 的最小值。
解：原某某可化为（x2＋x＋1）y=3x2＋6x＋5 ，
整理得（6-y）x2＋（12-2y）x＋（10-2y）=0，
因为x的取值范围是全体实数，
所以关于x的二次方程有实数根，
∴Δ = （12-2y）2-4×（6-y）（10-2y）= -4y2＋40y-96≥ 0 。
即y2-10y＋24≤ 0 ，
由（y-4）（y-6）≤0 得 4 ≤ y≤ 6 。
所以y的最小值为 4 。
【说明：本题也可以用以下的方法来做:
y=== 6-，当（X2+1）＋1最小时， 最大，从而得Y最小值是4 。】
例题（10） 如图（1-1），在ΔABC中，D、E分别是BC、AB上的点，且∠1=∠2=∠3 ，如果ΔABC、ΔEBD、ΔADC的周长依次为m,m1,m2,求证：的最小值是 。
证明：由∠1=∠2，∠C是公共角，得ΔABC∽ΔDAC，
∴== ， DC=，
∵∠2=∠3得DE∥AC，
∴ΔBDE∽ΔBCA，∴==，
而=== 1-（）2 。
令K=
则 K =＋1-()2,即()2-＋K-1= 0，
∵ a、b 为实数，
∴"?= （-1）2-4（K-1）≥ 0 ，得K≤ 4 。
∴ 的最小值为4 。
例题（11）已知矩形A的边长分别为a、b，如果总有另一矩形B，使得矩形B与矩形A的周长之比和面积之比都等于K。试问K是否存在最小值，若存在，求出这个最小值；若不存在，请说明理由。
解：K存在最小值。设矩形B的边长分别为m、n ，
根据题意得： =K，=K，
∴m＋n =K(a＋b),mn = Kab ；
则m、n 是关于X的方程X2-K(a＋b)X＋Kab = 0的两个根。
必须满足"?K2（m+n）-4Kmn≥ 0 ,
∵K≠0,∴K≥。∴K的最小值是 。
【说明：二次方程根的判别式往往和韦达定理结合在一起应用】
（四）用绝对值的几何意义和取零点、分段讨论法求最值。
例题（12）已知0≤a≤4,那么┃a-2┃＋┃3-a┃的最大值等于（ ）
A． 1 B. 5 C. 8 D. 3
解：根据已知条件采用取零点分段讨论法求最大值。
根据绝对值的几何意义，a=2 ,a=3是两个零点，
结合0≤a≤4分成0≤a≤2,2请点击下方选择您需要的文档下载。
- python填空题
- 第十章 分式练习
- 镜中对称例题2-图形打印裁剪
- 15.1.1从分数到分式随堂检测卷
- 高三数学第九讲（向量）
- 二次函数的应用听课记录4节
- XX完成宽带薪酬标准(最新)
- 软件测试技术（范某某）部分习题答案
- 数值分析课程设计报告线性方程组的直接解法
- 第1讲 真分数和假分数（讲义及答案）.
- 小学缩句讲解及例题
- 01 java面向过程程序设计
- 毕达哥拉斯的朋友数及完美数
- 平面度测量思路
以上为《初中数学竞赛最值问题求法应用举例》的无排版文字预览，完整内容请下载
初中数学竞赛最值问题求法应用举例由用户“b575806585”分享发布，转载请注明出处