第1章 分式XXXXX新教案word版XXXXX湘教8上XXXXX
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第1章 分式
1.1 分式
第1课时 分式
1.理解分式的定义，能够根据定义判断一个式子是否是分式.
2.能写出分式存在的条件，会求分式的值为0时字母的取值范围.(重难点)
3.能根据字母的取值求分式的值.(重点)
4.能用分式表示现实情境中的数量关系.(重点)
自学指导：阅读教材P2～3，完成下列问题.
(一)知识探究
1.一般地，如果一个整式f除以一个非零整式g(g中含有字母)，所得商叫作分式，其中f是分式的分子，g是分式的分母，g≠0.
2.(1)分式存在的条件是g≠0；(2)分式不存在的条件是g＝0；(3)分式的值为0的条件是f＝0，g≠0.
(二)自学反馈
1.下列各式中，哪些是分式？
①；②；③；④；⑤；⑥2x2＋；⑦；⑧－5；⑨3x2－1；⑩；?5x－7.
解：分式有①②④⑦⑩.
判断是否是分式主要看分母是不是含有字母.这是判断分式的唯一条件.
2.当x取何值时，下列分式的值不存在？当x取何值时，下列分式的值等于0?
(1)；(2).
解：(1)当x＋2＝0时，即x＝－2时，分式的值不存在.当x＝3时，分式的值等于0.
(2)当3－2x＝0时，即x＝时，分式的值不存在.当x＝－5时，分式的值等于0.
分母是否为0决定分式的值是否存在.
活动1 小组讨论
例1 列代数式表示下列数量关系，并指出哪些是整式？哪些是分式？
(1)甲每小时做x个零件，他做80个零件需多少小时；
(2)轮船在静水中每小时走a千米，水流的速度是b千米/时，轮船的顺流速度是多少千米/时，轮船的逆流速度是多少千米/时；
(3)x与y的差除以4的商是多少.
解：(1)；分式.(2)a＋b，a－b；整式.(3)；整式.
例2 当x取何值时，分式的值存在？当x取何值时，分式的值为零？
解：当的值存在时，x2－4≠0，即x≠±2；
当的值为0时，有2x－5＝0且x2－4≠0，即x＝.
分式的值存在的条件：分式的分母不能为0.分式的值不存在的条件：分式的分母等于0.分式值为0的条件：分式的分子等于0，但分母不能等于0.分式的值为零一定是在有意义的条件下成立的.
活动2 跟踪训练
1.下列各式中，哪些是分式？
①；②；③；④；⑤x2.
解：①③是分式.
2.当x取何值时，分式的值存在？
解：3x－2≠0，即x≠时，存在.
3.求下列条件下分式的值.
(1)x＝1；(2)x＝－1.
解：(1)当x＝1时，＝－.
(2)当x＝－1时，＝－.
活动3 课堂小结
1.分式的定义及根据条件列分式.
2.分式的值存在的条件，以及分式值为0的条件.
第2课时 分式的基本性质
1.理解并掌握分式的基本性质.(重点)
2.能运用分式的基本性质约分，并进行简单的求值运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P4～6，完成下列问题.
(一)知识探究
1.分式的基本性质：分式的分子与分母同时乘(或除以)一个不等于零的整式，分式的值不变.用式子表示为＝(h≠0).
2.根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去(即分子与分母都除以它们的公因式)，叫作分式的约分.
3.分子与分母没有公因式的分式叫作最简分式.
(二)自学反馈
1.下列等式的右边是怎样从左边得到的？
(1)＝(c≠0)；(2)＝.
解：(1)由c≠0，知＝＝.
(2)由x≠0，知＝＝.
应用分式的基本性质时，一定要确定分式在有意义的情况下才能应用.
2.填空，使等式成立：
(1)＝(其中x＋y≠0)；(2)＝.
在分式有意义的情况下，正确运用分式的基本性质，保证分式的值不变，给分式变形.
3.约分：
(1)；(2).
解：(1)公因式为ab，所以＝ac.
(2)公因式为8a2b2，所以＝－.
活动1 小组讨论
例1 约分：
(1)；(2)；(3).
解：(1)＝－.
(2)＝.
(3)＝＝.
约分的过程中注意完全平方式(a－b)2＝(b－a)2的应用.像(3)这样的分子分母是多项式，应先分解因式再约分.
例2 先约分，再求值：，其中x＝3，y＝1.
解：＝＝.
当x＝3，y＝1时，＝.
活动2 跟踪训练
1.约分：
(1)；(2).
解：(1)＝.
(2)＝＝－.
2.先约分，再求值：
(1)，其中m＝1，n＝2；
(2)，其中x＝2，y＝4.
解：(1)＝＝＝1.
(2)＝＝＝＝－.
活动3 课堂小结
1.分数的基本性质.
2.约分、化简求值.
1.2 分式的乘法和除法
第1课时 分式的乘法和除法
1.理解分式的乘、除法的法则.(重点)
2.会进行分式的乘除运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P8～9，完成下列问题.
(一)知识探究
分式的乘、除法运算法则：
(1)分式乘分式，把分子乘分子、分母乘分母分别作为积的分子、分母.用式子表示为·＝.
(2)分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用式子表示为：如果u≠0，则规定÷＝·＝.
(二)自学反馈
1.计算·的结果是.
2.化简÷的结果是m.
3.下列计算对吗？若不对，要怎样改正？
(1)·＝1；(2)÷a＝b；
(3)·＝；(4)÷＝.
解：(1)对.(2)错.正确的是.(3)错.正确的是－.(4)错.正确的是.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)·；(2)÷.
解：(1)原某某＝＝＝.
(2)原某某＝·＝－＝－.
例2 计算：
(1)·；(2)÷.
解：(1)原某某＝·＝＝.
(2)原某某＝·＝·＝＝－.
整式与分式运算时，可以把整式看成分母是1的分式.注意变换过程中的符号.
活动2 跟踪训练
1.计算：
(1)·；(2)÷8x2y；(3)－3xy÷.
解：(1)原某某＝＝.
(2)原某某＝·＝＝.
(3)原某某＝－3xy·＝－＝－.
(2)和(3)要把除法转换成乘法运算，然后约分，运算结果要化为最简分式.
2.计算：
(1)÷；
(2)÷(x＋3)·.
解：(1)原某某＝·＝·＝＝.
(2)原某某＝··＝··＝－.
分式的乘除要严格按着法则运算，除法必须先换算成乘法，如果分式的分子或分母是多项式，那么就把分子或分母分解因式，然后约分，化成最简分式.运算过程一定要注意符号.
活动3 课堂小结
1.分式的乘、除运算法则.
2.分式的乘、除法法则的运用.
第2课时 分式的乘方
1.理解分式乘方的运算法则.(重点)
2.熟练地进行分式乘方及乘、除、乘方混合运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P10～11，完成下列问题.
(一)知识探究
分式的乘方法则：分式的乘方要把分子、分母分别乘方.用式子表示为()n＝.(其中n为正整数)
(二)自学反馈
1.计算：
(1)()2；(2)(－)3.
解：(1)()2＝.
(2)(－)3＝－.
2.计算：
(1)(－)2·；(2)(3a2b)2÷(－)2.
解：(1)原某某＝·＝b.
(2)原某某＝9a4b2÷＝9a4b2·＝36a6.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)()3；(2)()3.
解：(1)()3＝.
(2)()3＝＝.
分式的乘方运算将分式的分子、分母分别乘方，再根据幂的乘方进行运算.
例2 计算：
(1)m3n2÷()3；(2)(－)2÷()3·()3.
解：(1)m3n2÷()3＝m3n2÷＝m3n2·＝n5.
(2)(－)2÷()3·()3＝÷·＝··＝.
分式混合运算，要注意：(1)化除法为乘法；(2)分式的乘方；(3)约分化简成最简分式.
活动2 跟踪训练
1.计算：
(1)·÷；
(2)÷·；
(3)()2÷(a－1)·.
解：(1)原某某＝··＝.
(2)原某某＝··＝－.
(3)原某某＝··＝.
2.计算：
(1)()3；(2)()2÷·()3.
解：(1)原某某＝＝－.
(2)原某某＝··＝－.
3.化简求值：÷()2·，其中a＝，b＝－3.
解：化简结果是ab；求值结果为－.
化简过程中注意“－”.化简中，乘除混合运算顺序要从左到右.
活动3 课堂小结
1.分式乘方的运算.
2.分式乘除法及乘方的运算方法.
1.3 整数指数幂
1.3.1 同底数幂的除法
1.理解同底数幂的除法法则.(重点)
2.熟练进行同底数幂的除法运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P14～15，完成下列问题.
(一)知识探究
同底数幂相除，底数不变，指数相减.设a≠0，m，n是正整数，且m＞n，则＝＝am－n.
(二)自学反馈
1.计算a10÷a2(a≠0)的结果是(C)
A.a5 B.－a5 C.a8 D.－a8
2.计算：x5÷(－x)2＝x3；(ab)5÷(ab)2＝a3b3.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)；(2).
解：(1)＝－x5－3＝－x2.
(2)＝＝－x3y3.
例2 计算：(x－y)6÷(y－x)3÷(x－y).
解：原某某＝(x－y)6÷[－(x－y)]3÷(x－y)＝－(x－y)6－3－1＝－(x－y)2.
活动2 跟踪训练
1.计算：
(1)；(2).
解：(1)原某某＝a3.(2)原某某＝1.
2.计算：(p－q)4÷(q－p)3·(p－q)2.
解：原某某＝(p－q)4÷[－(p－q)3]·(p－q)2＝－(p－q)·(p－q)2＝－(p－q)3.
活动3 课堂小结
同底数幂的除法的运算.
1.3.2 零次幂和负整数指数幂
1.理解零次幂和整数指数幂的运算性质，并能解决一些实际问题.(重难点)
2.理解零指数幂和负整数指数幂的意义.(重点)
3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.(重难点)
自学指导：阅读教材P16～18，完成下列问题.
(一)知识探究
1.任何不等于零的数的零次幂都等于1，即a0＝1(a≠0).
2.a－n＝(n是正整数，a≠0).
(二)自学反馈
1.计算：30＝1；(－2)－3＝－.
2.用科学记数法表示数0.000 201 6为2.016×10－4.
3.计算：23－()0－()－2.
解：原某某＝8－1－4＝3.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)3－2；(2)(10)－3；(3)()－2.
解：(1)3－2＝＝.(2)10－3＝＝0.001.
(3)()－2＝()2＝.
例2 把下列各式写成分式的形式：
(1)3x－3；(2)2x－23y－3.
解：(1)3x－3＝.(2)2x－23y－3＝.
例3 用科学记数法表示下列各数：
(1)0.000 326 7；(2)－0.001 1.
解：(1)0.000 326 7＝3.267×10－4.(2)－0.001 1＝－1.10×10－3.
活动2 跟踪训练
1.计算：(－2)0＝1；3－1＝.
2.把(－100)0，(－3)－2，(－)2按从小到大的顺序排列为(－100)0>(－)2＝(－3)－2.
3.计算：(－1)2 012×(3－π)0＋()－1.
解：原某某＝1×1＋2＝3.
活动3 课堂小结
1.零次幂和整数指数幂的运算性质.
2.零指数幂和负整数指数幂的意义.
3.负整数指数幂在科学记数法中的应用.
1.3.3 整数指数幂的运算法则
1.理解整数指数幂的运算法则.(重点)
2.熟练掌握整数指数幂的各种运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P19～20，完成下列问题.
(一)知识探究
1.am·an＝am＋n(a≠0，m，n都是整数).
2.(am)n＝amn(a≠0，m，n都是整数).
3.(ab)n＝anbn(a≠0，b≠0，m，n都是整数).
(二)自学反馈
计算：
(1)a3·a－5＝a－2＝；(2)a－3·a－5＝a－8＝；
(3)a0·a－5＝a－5＝；(4)am·an＝am＋n(m，n为任意整数).
am·an＝am＋n这条性质对于m，n是任意整数的情形仍然适用.同样正整数指数幂的运算可以推广到整数指数幂的运算.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)(a－1b2)3；(2)a－2b2·(a2b－2)－3.
解：(1)原某某＝a－3b6＝.
(2)原某某＝a－2b2·a－6b6＝a－8b8＝.
例2 下列等式是否正确？为什么？
(1)am÷an＝am·a－n；(2)()n＝anb－n.
解：(1)正确.理由：am÷an＝am－n＝am＋(－n)＝am·a－n.
(2)正确.理由：()n＝＝an·＝anb－n.
活动2 跟踪训练
1.下列式子中，正确的有(D)
①a2÷a5＝a－3＝；②a2·a－3＝a－1＝；③(a·b)－3＝＝；④(a3)－2＝a－6＝.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.计算：[x(x2－4)]－2·(x2－2x)2＝.
活动3 课堂小结
牢记整数指数幂的运算法则.
1.4 分式的加法和减法
第1课时 同分母分式的加减法
1.掌握同分母分式的加、减法则，并能运用法则进行同分母分式的加减运算.(重点)
2.会将分母互为相反数的分式化为同分母分式进行运算.(重难点)
自学指导：阅读教材P23～24，完成下列问题.
(一)知识探究
1.同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.即，±＝.
2.＝＝－，＝.
(二)自学反馈
1.计算：＋＝；－＝.
2.计算：
(1)－；(2)－.
解：(1)－＝＝＝1.
(2)－＝＋＝＝a－b.
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)＋；(2)－.
解：(1)原某某＝＝＝1.
(2)原某某＝＝＝＝.
例2 计算：
(1)－；(2)－.
解：(1)原某某＝＋＝.
(2)原某某＝－＝＋＝＝.
活动2 跟踪训练
1.化简＋的结果是(D)
A.x＋1 B.x－1
C.－x D.x
2.化简－的结果是(A)
A.a＋b B.a－b
C.a2－b2 D.1
3.计算：(1)－；(2)＋－.
解：(1)原某某＝＝1.(2)原某某＝＝0.
1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解因式；
2.注意：计算过程中，分子、分母一般保持分解因式的形式.
活动3 课堂小结
1.分式相加减时，如果分子是一个多项式，要将分子看成一个整体，先用括号括起来，再运算，可减少出现符号错误.
2.分式加减运算的结果要约分，化为最简分式(或整式).
第2课时 通分
1.了解什么是最简公分母，会求最简公分母.(重点)
2.了解通分的概念，并能将异分母分式通分.(重难点)
自学指导：阅读教材P25～26，完成下列问题.
(一)知识探究
1.异分母分式进行加减运算时，也要先化成同分母分式，然后再加减.
2.根据分式的基本性质，把几个异分母的分式化成同分母的分式的过程，叫作分式的通分.
3.通分时，关键是确定公分母，一般取各分母的所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母称为最简公分母.
(二)自学反馈
1.，的最简公分母是6xy.
2.对分式，，通分时，最简公分母是12xy2.
3.通分：
(1)与；(2)与.
解：(1)＝＝；－＝－＝－.
(2)＝，＝.
活动1 小组讨论
例1 通分：(1)与；(2)与.
解：(1)最简公分母是2a2b2c.
＝＝，
＝＝.
(2)最简公分母是(x＋5)(x－5).
＝＝，
＝＝.
例2 通分：(1)与；(2)与.
解：(1)最简公分母是4b2d.
＝，＝.
(2)最简公分母是2(x＋2)(x－2).
＝＝，
＝＝＝－.
活动2 跟踪训练
1.分式，的最简公分母为(B)
A.(x＋2)(x－2) B.2(x＋2)(x－2)
C.2(x＋2)(x－2)2 D.－(x＋2)(x－2)2
2.分式，，的最简公分母是x(x＋1)2(x－1).
3.通分：
(1)与；(2)与；(3)与.
解：(1)＝，＝.
(2)＝，＝.
(3)＝，＝.
活动3 课堂小结
1.确定最简公分母.
2.将异分母分式通分.
第3课时 异分母分式的加减法
1.熟练掌握求最简公分母的方法.
2.能根据异分母分式的加减法则进行计算.(重难点)
自学指导：阅读教材P27～29，完成下列问题.
(一)知识探究
异分母的分式相加减时，要先通分，即把各个分式的分子、分母同乘一个适当的整式，化成同分母分式，然后再加减.
(二)自学反馈
1.化简分式＋的结果是(C)
A.x B.
C. D.
2.下列计算正确的是(D)
A.＋＝ B.－＝
C.＋1＝ D.－＝
活动1 小组讨论
例1 计算：
(1)＋；(2)－.
解：(1)原某某＝＋＝.
(2)原某某＝－＝.
例2 计算：
(1)(1－)÷；(2)＋.
解：(1)原某某＝·＝·＝a－b.
(2)原某某＝＋＝＝.
活动2 跟踪训练
1.计算(＋)÷的结果为(A)
A.a B.－a
C.(a＋3)2 D.1
2.化简(1＋)÷的结果是(A)
A. B.
C. D.
3.化简·＋的结果是.
4.化简(1－)(m＋1)的结果是m.
1.在分式有关的运算中，一般总是先把分子、分母分解 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 的比为2∶5，求两辆汽车的速度.
解：设大汽车的速度为2x千米/小时，则小汽车的速度为5x千米/小时.
根据题意，列方程得＝.
解得x＝9.
检验：当x＝9时，10x≠0.
所以，x＝9是原方程的解.
则2x＝18，5x＝45.
答：大汽车的速度是18千米/小时，小汽车的速度是45千米/小时.
等量关系是大汽车5小时后剩下路程所走的时间，等于小汽车去掉30分钟路程所用的时间.
2.一项工程，需要在规定日期内完成，如果甲队独做，恰好如期完成，如果乙队独做，就要超过规定3天，现在由甲、乙两队合作2天，剩下的由乙队独做，也刚好在规定日期内完成，问规定日期是几天？
解：设规定日期是x天，则甲队独做需x天，乙队独做需(x＋3)天，根据题意，列方程得
＋＝1.解得x＝6.
检验：当x＝6时，x(x＋3)≠0.所以，x＝6是原方程的解.
答：规定日期是6天.
活动3 课堂小结
1.列分式方程解应用题，应该注意解题的六个步骤.
2.列方程的关键是要在准确设元(可直接设，也可设间接)的前提下找出等量关系.
3.解题过程注意画图或列表帮助分析题意找等量关系.
4.注意不要遗漏检验和写答案.
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