高等代数整理
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第一章 多项式
分析：
本章将整数的可除性理论由整数扩充到了一元多项式，而相较于整数的除法，一元多项式除法自然而然地将整数除法中的被除数、除数、商、余数（以下简称为相关量）变为了被除式、除式、商某某、余某某，且它们都是一元多项式。
注意到在整数的除法运算中，相关量都是整数；特别地，若余数为零，除数及商也称为被除数的因子。由此不难类比到一元多项式除法中：相关量也都是一元多项式——即被除式、除式、商某某、余某某；特别地，若余某某为零，除式及商某某也称为被除式的因式。
至此，我们自然地导出了一元多项式除法中的相关量，并且希望日后在其运算中也能与整数除法运算进行很好地类比。我们还发现，在整数除法运算中无论如何都不会诞生除整数之外的数，即其相关量具有很好的封闭性。于是我们希望在一元多项式的除法运算中其相关量亦是如此。
所以，第一个要考虑的问题便是如何抽象定义其封闭性——即相关量皆为一元多项式。注意到一元多项式中的未知量??只是形式化的一个未知量，我们不关心它用哪个字母表示，只关心其“一元”性。而在未知量上定义封闭性显然是不可取的，我们不妨将眼光转移到其系数上：
一：
我们定义数域：设??是由一些数组成的集合，其中包括0和1。如果??中任意两个数（可以是同一个数）的和、差、积、商（除数不为0）仍是??中的数，那么??就称为一个数域。
为了便于表述，又将系数全在数域??上的一元多项式称为数域??上的一元多项式，数域??上所有一元多项式的集合记为??[??]（即数域??上的一元多项式环）。这样一来，我们就可以把一元多项式除法的封闭性简述为：相关量属于??[??]。而其四则运算只需将未知量??视为数运算即可，满足数的四则运算定律。
定义一元多项式的次数为最高次项（非0）的次数。
定义系数全为0的多项式为零多项式，不讨论其次数。（注：零多项式??(??)≡0，而零次多项式??(??)为一非零常数）
（注：非零多项式的次数只能为自然数）
例题：证明对?数域??,若????????,则??=??或??=??.
证:
假设???*??.??.????????并满足??*≠??且??*≠??,
则???=??+????(??,??∈??且??≠0)且??∈??*,
又由数域定义知??*=??,矛盾,故原命题成立,证毕.
分析：命题较为抽象地阐述了实数域与复数域之间不存在别的数域。考虑用反证法，假设不然，则它们之间必存在某个不同于它们的数域??*，由于??*较实数域更大较复数域更小，那么必定有一个不为实数的复数是??*的元素——即某个虚部不为零的复数（证明中设为??）。而由数域定义我们知：1也是数域??*中的元素，紧接着重复利用数域对四则运算的封闭性易得虚数单位??也是??*中的元素，继而推得??*只能为复数域，与假设产生矛盾。
二：
再来考虑整除，事实上也完全能够由整数除法类比。需要注意的是，在整数除法中余数必须小于除数（否则除法做得不够彻底，得到的只是一个意义不够明确的等式）；类比到一元多项式除法中：余某某的次数必须小于除式（计算中也可以用于判断除法是否做得足够彻底）。
重要定理：???
??
,??(??)∈??[??],?!??
??
,??(??)∈??[??]??.??.??
??
=??
??
??
??
+??
??
.
简某某：显然如果用??(??)去除??(??)，从过程上看其每一步都是唯一确定的，那么结果也必然唯一确定。
整除的充要条件：余某某为零多项式。此时称除式及商某某为被除式的因式。考虑到具体的一元多项式除法操作相对简单，因此不再过多阐述。
三：
再看最大公 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ??
1
)
2
(???
??
2
)
2
…
(???
??
??
)
2
+1=
Φ
1
2
(??).
设??
??
=(???
??
1
)(???
??
2
)…
???
??
??
∈??[??],
有
Φ
1
2
??
?
??
2
??
=1?
Φ
1
??
+??
??
Φ
1
??
???
??
=1,
注意到左某某为两个整系多项式之积,有
Φ
1
??
+??
??
=Φ
1
??
???
??
=±1,
得??
??
=0,这显然不合题意,假设不成立,故 ??
??
在??上不可约,证毕.
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