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第一章 随机事件与随机事件的概率
1.1 随机事件 例一，掷两次硬币，其可能结果有： ｛上上；上下；下上；下下｝ 则出现两次面向相同的事件A与两次面向不同的事件B都是可能出现，也可能不出现的。 引例二，掷一次骰子，其可能结果的点数有： ｛1，2，3，4，5，6｝ 则出现偶数点的事件A，点数≤4的事件B都是可能出现，也可能不出现的事件。 从引例一与引例二可见，有些事件在一次试验中，有可能出现，也可能不出现，即它没有确定性结果，这样的事件，我们叫随机事件。 （一）随机事件：在一次试验中，有可能出现，也可能不出现的事件，叫随机事件，习惯用A、B、C表示随机事件。 由于本课程只讨论随机事件，因此今后我们将随机事件简称事件。 虽然我们不研究在一次试验中，一定会出现的事件或者一定不出现的事件，但是有时在演示过程中要利用它，所以我们也介绍这两种事件。 必然事件：在一次试验中，一定出现的事件，叫必然事件，习惯用Ω表示必然事件。 例如，掷一次骰子，点数≤6的事件一定出现，它是必然事件。 不可能事件：在一次试验中，一定不出现的事件叫不可能事件，而习惯用φ表示不可能事件。 例如，掷一次骰子，点数>6的事件一定不出现，它是不可能事件。 （二）基本（随机）事件 随机试验的每一个可能出现的结果，叫基本随机事件，简称基本事件，也叫样本点，习惯用ω表示基本事件。 例如，掷一次骰子，点数1,2,3,4,5,6分别是基本事件，或叫样本点。 全部基本事件叫基本事件组或叫样本空间，记作Ω，当然Ω是必然事件。 （三）随机事件的关系 （1）事件的包含：若事件A发生则必然导致事件B发生，就说事件B包含事件A，记作。 例如，掷一次骰子，A表示掷出的点数≤2，B表示掷出的点数≤3。∴A=｛1，2｝，B=｛1，2，3｝。 所以A发生则必然导致B发生。 显然有 （2）事件的相等：若，且就记A=B，即A与B相等，事件A等于事件B，表示A与B实际上是同一事件。 （四）事件的运算
（1）和事件：事件A与事件B中至少有一个发生的事件叫事件A与事件B的和事件，记作：或A+B
（2）积事件：事件A与事件B都发生的事件叫事件A与事件B的积事件，记作：AB或A∩B
（3）差事件：事件A发生而且事件B不发生的事件叫事件A与事件B的差事件，记作（A-B）
?
（5）对立事件：事件A不发生的事件叫事件A的对立事件。记作
（4）互不相容事件：若事件A与事件B不能都发生，就说事件A与事件B互不相容（或互斥）即AB=Φ
例如在考试中A表示考试成绩为优，B表示考试不及格。A与B互不相容，但不对立。 下面图1.1至图1.6用图形直观的表示事件的关系和运算，其中正方形表示必然事件或样本空间Ω。 图1.1表示事件事件A 图1.2阴影部分表示A+B 图1.3阴影部分表示AB 图1.4阴影部分表示A-B 图1.5表示A与B互不相容 图1.6阴影部分表示 事件的运算有下面的规律：
?
（1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律 （2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律 （AB）C=A（BC） （3）A（B+C）=AB+AC （A+B）（A+C）=A+BC叫分配律 （4）叫对偶律
例1，A，B，C表示三事件，用A，B，C的运算表示以下事件。 （1）A，B，C三事件中，仅事件A发生
（2）A，B，C三事件都发生
A，B，C三事件都不发生
（4）A，B，C三事件不全发生 （5）A，B，C三事件只有一个发生 （6）A，B，C三事件中至少有一个发生 解：（1）（2）ABC（3）（4）（5）（6）A+B+C 例2.某射手射击目标三次：A1表示第1次射中，A2表示第2次射中，A3表示第3次射中。B0表示三次中射中0次，B1表示三次中射中1次，B2表示三次中射中2次，B3表示三次中射中3次，请用A1、A2、A3的运算来表示B0、B1、B2、B3 解：（1） （2） （3） （4）
1.2 随机事件的概率 （一）频率：（1）在相同条件下，进行了n次试验，在这n次试验中，事件A发生了nA次，则事件A发生的次数nA叫事件A发生的频数。 （2）比值nA/n称为事件A发生的频率，记作fn（A），即 历史上有不少人做过抛硬币试验，其结果见下表，用A表示出现正面的事件：
试验人
n
nA
fn（A）
摩根
2048
1061
0.5181
蒲某某
4040
2048
0.5069
皮尔逊
12000
6019
0.5016
从上表可见，当试验次数n大量增加时，事件A发生的频率fn（A）会稳定某一常数，我们称这一常数为频率的稳定值。例如从上表可见抛硬币试验，正面出现的事件A的频率fn（A）的稳定值大约是0.5。 （二）概率：事件A出现的频率的稳定值叫事件A发生的概率，记作P（A） 实际上，用上述定义去求事件A发生的概率是很困难的，因为求A发生的频率fn（A）的稳定值要做大量试验，它的优点是经过多次的试验后，给人们提供猜想事件A发生的概率的近似值。 粗略地说，我们可以认为事件A发生的概率P（A）就是事件A发生的可能性的大小，这种说法不准确，但人们容易理解和接受，便于应用。 下面我们不加证明地介绍事件A的概率P（A）有下列性质： （1）0≤P（A） ≤1 （2）P（Ω）=1，P（Φ）=0 （3）若A与B互斥，即AB=Φ，则有 P（A+B）=P（A）+P（B） 若A1，A2，……，An互斥，则有 （三）古典概型： 若我们所进行的随机试验有下面两个特点： （1）试验只有有限个不同的结果； （2）每一个结果出现的可能性相等， 则这种试验模型叫古典概型。 例如，掷一次骰子，它的可能结果只有6个，假设骰子是均匀的，则每一种结果出现的可能性都是1/6，所以相等，这种试验是古典概型。 下面介绍古典概型事件的概率的计算公式： 设是古典概型的样本空间，其中样本点总数为n，A为随机事件，其中所含的样本点数为r 则有公式： 例1，掷一次骰子，求点数为奇数点的事件A的概率。 解：样本空间为Ω=｛1，2，3，4，5，6｝；A=｛1，3，5｝ ∴n=6,r=3 由于在古典概型中，事件A的概率P（A）的计算公式只需知道样本空间中的样本点的总数n和事件A包含的样本点的个数r就足够，而不必一一列举样本空间的样本点，因此，当样本空间的样本点总数比较多或难于一一列举的时候，也可以用分析的方法求出n与r的数值即可。 例2，从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9 这10个数码中，取出三个不同的数码，求所取3个数码不含0和5的事件A的概率。 解：从10个不同数码中，任取3个的结果与顺序无关，所以基本事件总数 A事件中不能有0和5，所以只能从其余8个数码中任取3个，所以A中的基本事件 例3，从1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字中任取一个，放回后再取一个，求所取两个数字不同的事件A的概率。 解：（1）第一次取一个数字的方法有9种； 第二次取一个数字的方法与第一次相同也是9种； 由乘法原则，知两次所取的数字方法有9×9=92（种） 每一种取法是一个基本事件，所以n=92 （2）所取两个数字不同时，相当于从中任取两个数，其结果与顺序有关，所取取法有： 也可按（1）的乘法原则求r，第一次的取法有9种，第二次的数字与第1次不同，所以只有8种，所以取法共有9×8（种） ∴r=9×8 （四）概率的加法公式 请先看下面引例： 掷一次骰子，A=｛1，3，5｝，B=｛1，2，3｝请求： （1）P（A）； （2）P（B）； （3）P（A+B）； （4）P（AB） 解：（1） （2） （3） （4） 由本例看出，P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB），本例的结果具有普遍性，下面我们不加证明地介绍下面公式： 特别情形：
?
（1）如果A与B互斥，即AB=Φ则P（AB）=0 这时 （2）因为A与有性质 所以
当上面等式中左边的概率P（A）不易求得，而且A的对立事件的概率则较易计算时，便可以通过容易计算的求难计算的概率P（A）。 例1若P（A）=0.5，P（A+B）=0.8，P（AB）=0.3，求P（B） 解：因为P（A+B）=P（A）+P（B）-P（AB） ∴P（B）=P（A+B）+P（AB）-P（A） =0.8+0.3-0.5=0.6 例2，袋中有10件产品，其中有6件正品，4件次品，从只任取3件，求所取3件中有次品的事件A的概率。 解：A表示有次品，它包含有1件次品，有2件次品，有3件次品三类事件，计算比较复杂。 而对立事件 则表示没有次品，即都是正品的事件，比较简单。 因为基本事件总数 事件 包含的基本事件 加法公式可推广如下： （五）概率的减法公式
?
因为，而，而BA与明显不相容。 特别地，若，则有AB=A 所以当
例1 ，已知P（B）=0.8，P（AB）=0.5，求 解： 1.3 条件概率 （一）条件概率和乘法公式
符号叫在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率，叫条件概率
，需要指出
的是
条件概率仍是事件A的概率，但是它有条件，条件是以B已经发生为前提，或者
是以B已经发生为条件。
?
例1，某厂有200名职工，男、女各占一半，男职工中有10人是优秀职工，女职工中有20人是优秀职工，从中任选一名职工。 用A表示所选职工优秀，B表示所选职工是男职工。 求（1）P（A）；（2）P（B）；（3）P（AB）；（4）； 解：（1） （2） （3）AB表示所选职工既是优秀职工又是男职工 （4）表示已知所选职工是男职工。在已知所选职工是男职工的条件下，该职工是优秀职工，这时n=100,r=10
?
由本例可以看出
事件A与事件不是同一事件,所以它们的概率不同,即
由本例还可看出,
事件AB与事件也不相同，
事件AB表示所选职工既是男职工又是优秀职
工，这时基本事件总数n1=200，r=10。而事件 则表示已知所选职工是男职工，所以基本事件总数n2=100，r=10，所以虽然P（AB）与不相同，但它们有关系，由本例可以看出 本例的结果具有普遍性。下面我们不加证明地给出下面的乘法公式： 显然有：若P（A）>0则有 将上面的结果改写为整式有
?
∴ 公式叫概率的乘法公式。
乘法公式可以推广为： （二）全概公式
?
定义：若事件组满足条件 （1）互不相容 （2）在一次试验中，事件组中至少发生一个，即 就说事件组是样本空间Ω的一个划分。
例如事件组A与有所以事件组是样本空间的一个划分。 例如某产品由甲、乙、丙三厂分别生产，A1表示该产品由甲厂生产，A2表示该产品由乙厂生产，A3表示该产品由丙厂生产，则事件组A1，A2，A3满足： （1） （2） 所以事件组A1，A2，A3是样本空间的一个划分。 下面介绍全概公式
?
设是样本空间Ω的一个划分，B是一个事件，则有：
证：∵ 又∵ΩB=B ∵互不相容 ∴也互不相容 ∴ 用乘法公式上式可改写为 特别地（1）若是Ω的一个划分，则有 （2）∵是Ω的一个划分，所以 全概公式的优点是当P（B）不易求而且条件概率容易计算时，可用全概公式求P（B） 例1，袋中有5个球，其中有3个红球，2个白某某，从中每次取出一个球（不放回）用A表示第一次取到红球，B表示第二次取到红球，求 （1）P（A）； （2）P（B） 解：（1）用古典概型n=5,r=3 （2）直接求P（B）很困难，因为B发生的概率与事件A发生与之有关，用古典概型容易求得： 所以可用全概公式计算 可见第一次，第二次取到红球的概率相同。 例2，已知男人中有5%是色盲，女人中有1%是色盲，若人群中男女各半。 当在人群中任取一人，问该人是色盲的概率是多少？ 解：用B表示该人是色盲者，A表示该人是男人.直接求P（B）比较困难，原因在于该人是色盲的概率与该人的性别有关，但已知 （三）逆概公式（贝叶斯公式） 由 可得
公式 叫逆概公式（贝叶斯公式）
当P（A）,P（B），已知时，可反过来求。 例1，某地七月份下暴雨的概率为0.7，当下暴雨时，有水灾的概率为0.2；当不下暴雨时，有水灾的概率为0.05，求： （1）该地七月份有水灾的概率. （2）当该地七月份已发生水灾时，下暴雨的概率. 解：用B表示该地七月有水灾； A表示该地七月下暴雨 已知 （1） （2） 例2，某种产品分别由甲、乙、丙三厂生产，甲厂产量占50%，次品率为0.01，乙厂产量占30%，次品率为0.02，丙厂产量占20%，次品率为0.05，求： （1）该产品的次品率 （2）若任取一件，该件是次品，求这件次品分别是甲厂、乙厂、丙厂的产品的概率。 解：用B表示产品是次品，A1表示甲厂的产品，A2表示乙厂的产品，A3表示丙厂的产品。 所以表示已知产品甲厂产品时，该产品是次品 表示已知产品是乙厂产品时，该产品是次品。 表示已知该产品是丙厂产品时，该产品是次品。 则表示已知产品是次品时，它是甲厂产品； 则表示已知产品是次品时，它是乙厂产品； 则表示已知产品是次品时，它是丙厂产品； ∴（1） （2） 1.4 事件的独立性 （一）事件的独立性
（1）定义：
若P（AB）=P（A）P（B），就说事件A与事件B相互独立。
性质二，
若A与B独立，则有
（2）A与B独立的性质 性质一，若A与B独立，则 而若A与B独立，则 证：∵A与B独立，∴P（AB）=P（A）P（B） （1）当P（A）>0时， （2）当P（B）>0时， 性质一说明A与B相互独立时，A发生与否，对B发生的概率没有影响，而且，B发生与否也对A发生的概率没有影响。
（1）与独立 （2）与B独立 （3）A与独立
证：用独立性定义： （1）∵A与B独立，∴P（AB）=P（A）P（B） 由对偶公式 ∴与独立 （2） ∴与B相互独立 （3） ∴A与相互独立 由A与B独立这一定义可推广有下列结果：
若A，B，C相互独立，则有P（ABC）=P（A）P（B）P（C） 若相互独立，则有
例1.种子的发芽率为0.98，求三粒种子中至少有一粒发芽的概率。 （解某某）用B表示三粒种子中至少有一粒发芽 A1表示第一粒种子发芽 A2表示第二粒种子发芽 A3表示第三粒种子发芽 很明显，A1，A2，A3相互独立 （解某某）用对偶公式 例2.甲、乙、丙三人独立破译敌码。甲能破译的概率为;乙能破译的概率为;丙能破译的概率为 .求密码被破译的概率。 解：用B表示敌码被破译 ∴B=甲+乙+丙 （二）重复独立试验概型 先请看引例：某人射击目标的命中率为P，他向目标射击三枪，求这三枪中恰中二枪的概率。 解：用B表示射击三枪，恰中二枪的事件 A1表示第一枪击中目标 A2表示第二枪击中目标 A3表示第三枪击中目标 其中A1，A2，A3独立 由本例可见与，大小相同都是P2（1-P），总共有三类，相当于从1，2，3这三个数中，任取二个的方法数 由本例可以推广为： 某人射击目标的命中率为P（即每次命中率都是P），他向目标射击n枪，则这n枪中恰中k枪的概率为： P（射击n枪，恰中k枪）= 一般地，有下面普遍结果： 如果在每一次试验中，事件A发生的概率不变都是P（A）=p，则在这样的n次重复相同的试验中，事件A发生k次的概率的计算公式为：
P（在n次重复试验中，A发生k次）=
其中P表示在每一次试验时，A的概率，记为p=P（A），
习惯用符号Pn（k）表示在n次重复
试验中，事件A发生k次的概率。
例1.一射手对目标独立射击4次，每次射击的命中率P=0.8，求 （1）恰好命中两次的概率； （2）至少命中一次的概率。 解：（1） （2）用B表示至少命中1次的事件 则表示最多命中0次的事件，故 表示恰好命中0次的事件 例2.XX同类型的机床同时独立工作，每台车床在一天内出现故障的概率P=0.1，求在一天内： （1）没有机床出现故障的概率； （2）最多有一台机床出现故障的概率。 解：（1）所求概率为： （2）所求概率为： 本章考核内容小结 （一）了解随机事件的概率的概念，会用古典概型的计算公式 计算简单的古典概型的概率 （二）知道事件的四种关系 （1）包含：表示事件A发生则事件B必发生 （2）相等： （3）互斥：与B互斥 （4）对立：A与B对立AB=Φ，且A+B=Ω （三）知道事件的四种运算 （1）事件的和（并）A+B表示A与B中至少有一个发生 性质：（1）若，则A+B=A（2）且 （2）事件积（交）AB表示A与B都发生 性质：（1）若，则AB=B∴ΩB=B且 （2） （3）事件的差：A-B表示A发生且B不发生 ∴，且A-B=A-AB （4）表示A不发生 性质 （四）运算关系的规律 （1）A+B=B+A，AB=BA叫交换律 （2）（A+B）+C=A+（B+C）叫结合律 （AB）C=A（BC） （3）A（B+C）=AB+AC叫分配律 （A+B）（A+C）=A+BC （4）叫对偶律 （五）掌握概率的计算公式 （1）P（ 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 10
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解（一）求线性回归方程 ， （1） （2） （3） ∴线性回归方程为=150+14x。 （二）对进行显著性检验 （1） （2）引进统计量 （3）查F（1,n-2）表给定α=0.05，Fα（1，2）=18.5 ∴拒绝域W为（Fα（1，n-2）,+∞）=（18.5，+∞） （4）计算F （5）判定：∵F落在拒绝域W内； ∴拒绝H0，接受H1。 即线性关系明显。 本章小结 本章考核要求： （一）会根据样本（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）求y与x的线性回归方程 其中 （二）会用F检验法判断y与x的线性关系是否明显
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