1.7 两向量的数量积（内积） (1)
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§1.7 两向量的数量积（内积）
一 、数量积的定义
定义1.7.1 对于两个向量和(把它们的模,及它们夹角( 的余弦的乘积称为向量/和/的数量积(?记作即
=cos( .
由此定义和射影的关系可得:
(Prjb=Prja.或Prjb =
二、 数量积的性质(?
(1)? ·(2,记·(2，则2(2或，（模长计算）
(2) （夹角计算）
(3)对于两个非零向量如果(0，则??
反之(如果则.
定理1.7.1 如果认为零向量与任何向量都垂直(?则(.
定理1.7.2 数量积满足下面运算律：
(1)交换律(.
(2)分配律(??()(( .
(3) ?=(()，关于数因子可结合。
推论：()((( ）.
证明: (1)由定义知显然.
(2)的证明( 因为当(时( 上式显然成立(
当时( 有
()(||Prjc(()
(||(Prjc(Prjc)
(||Prjc(||Prjc ((((.
(3)可类似地证明.
注:可按多项式的乘法展开计算，得平方差公式,完全平方公式，平行四边形对角线的平方和性质等。
例1 试用向量法证明三角形的余弦定理（线面垂直定理，三高线共点定理）.
证: 设在ΔABC中(?∠BCA(/?(|/|=a( |/|=b( |/|=c( 要证
c 2(a 2+b 2(2 a b cos /?.
记/(,/((/=(??则有((( 从而???
||2((((().(()(2-2(+2(||2+||2(2||||cos(^)(
即 c 2(a 2+b 2(2 a b cos /??
????三 、 数量积的坐标表示（在直角坐标系下）
定理1.7.3 设({ax( ay( az }(({bx( by( bz }( 则
(axbx(ayby(azbz (
证明: ((ax(ay(az).(bx(by (bz)
(axbx.(axby.(axbz.(aybx.(ayby.(aybz .
(azbx .(azby .(azbz .
由于 .(.(.(1((.((.(.(0((
所以 ( ax bx ( ay by ( az bz (?
推论：在直角坐标系下，设，则
证明：对两边同时点乘，，（上一节用图形已证）.
定理1.7.4（模长计算公式） 设={ax( ay( az },则向量的模长
||=.
证明： 因为 ||2=2=，
所以 ||=.
推论：设向量/的始终点坐标分别为/、/，
则/，
这就是两点间距离公式。
定理1.7.5（夹角计算公式） 设(((^)( 则当(、((有
/.
证： 因为 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 os/
cos/
于是
，以三个方向余弦为坐标构成同方向的单位向量.
将={ax( ay( az }进行单位化就得三个方向余弦.
例2 已知三点M (1(1(1)、A (2(2(1)和B (2(1(2)(求MA及(AMB (
解： 从M到A的向量记为( 从M到B的向量记为( 则(AMB 就是向量与的夹角. ({1(1(0}(?({1(0(1}(
因为 (1(1(1(0(0(1(1，
MA=/( /(
所以 /(从而 /.
例3 证明柯西施瓦兹不等式（略）.
作业：T4(2)、(4)；T6
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