3的倍数的特征的证明
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3的倍数的特征的证明
小学的时候我们判断一个整数是不是3的倍数时，往往用它各个数位上的数相加来判断。
例如：判断32508是不是3的倍数。我们先计算3+2+5+0+8=18，而18是3的倍数，所以32508也是3的倍数。
但你有没有想过，为什么可以这样判断？其中会不会含有一个数学定理呢？
一位数明显满足，我们从两位数开始证明一下相关的定理。
定理：如果一个两位数
????
满足(a+b)能被3整除，那么
????
也能被3整除。
(备注：
ab
表示十位上的数是a，个位上的数是b的一个整数)
证明：
∵
ab
=10a+b=9a+(a+b)
∴
ab
÷3=[9a+(a+b)]÷3=3a+
1
3
(a+b)
∵(a+b)能被3整除
∴
1
3
(a+b)是整数
∵a是整数
∴3a是整数
∴3a+
1
3
(a+b)是整数
∴
ab
能被3整除
研究问题往往由浅入深，搞定了两位数的，我们来看三位数的定理如何证明。
定理：如果一个三位数
??????
满足(a+b+c)能被3整除，那么
??????
也能被3整除。
(备注：
abc
表示百位上的数是a，十位上的数是b，个位上的数是c的一个整数)
证明：
∵
abc
=100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c)=9(11a+b)+(a+b+c)
∴
abc
÷3=[9(11a+b)+(a+b+c)]÷3=3(11a+b)+
1
3
(a+b+c)
∵(a+b 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。
)+(
a
1
+
a
2
+
a
3
+...+
a
n
)
∴
a
1
a
2
a
3
...
a
n
÷3=3(
111...1
n-1个1
a
1
+
111...1
n-2个1
a
2
+
111...1
n-3个1
a
3
+...+
a
n-1
)+
1
3
(
a
1
+
a
2
+
a
3
+...+
a
n
)
∵(
a
1
+
a
2
+
a
3
+...+
a
n
)能被3整除
∴
1
3
(
a
1
+
a
2
+
a
3
+...+
a
n
)是整数
∵
a
1
，
a
2
，
a
3
...
a
n
是整数
∴(
111...1
n-1个1
a
1
+
111...1
n-2个1
a
2
+
111...1
n-3个1
a
3
+...+
a
n-1
)是整数
∴3(
111...1
n-1个1
a
1
+
111...1
n-2个1
a
2
+
111...1
n-3个1
a
3
+...+
a
n-1
)是整数
∴3(
111...1
n-1个1
a
1
+
111...1
n-2个1
a
2
+
111...1
n-3个1
a
3
+...+
a
n-1
)+
1
3
(
a
1
+
a
2
+
a
3
+...+
a
n
)是整数
∴
a
1
a
2
a
3
...
a
n
能被3整除
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