高等数学A2复习题.doc
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姓 名 一、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
解：特征方程为r2 ? 4r ? 4 ? 0
解得特征根： r1
? r2
? ?2
(4 分)
1、lim xy
x ?0 y ?0
? 4 .
方程通解 y ? (c1 x ? c2
)e?2 x
(c1
, c2
) 为任意常数 (6 分)
班级学号
x ? 1
y ?1
x ? 2
y ? 3
z ? 1
y? ? (?2c x ? c
2c
)e?2 x
又 y(0) ? 1, y?(0) ? 1，得c
? 1，c ? 3
2、直线 L： ?
? z 与 L ： ?
? 平行，则k ? ? 6 .
1 1 2 2 1
1 2 ? 3
2 4 k 2
所以方程满足 y(0) ? 1, y?(0) ? 1的特解为 y ? (3x ? 1)e?2 x
(8 分)
3、设 z ? x2 ? 3xy ? ey ，则dz ? (2x ? 3y)dx ? (3x ? ey )dy .
系部名称
4、曲线积分?L
ydx ? xdy ???0 ，其中 L 为 xoy 面上一条分段光滑的闭曲线.
2、设向量a ? ?1, 0, ? 2?， b ? ?3,1, 0?，计算a ? b 及a ? b ．
解： a ? b ? 1? 3 ? 0 ?1? (?2) ? 0 ? 3
? ?
（4 分）
5、若 lim un ? 0 ，则级数?un 的敛散性为 发散 .
i j k
? ? ?
专业名称
n??
n?1
a ? b ? 1 0
3 1
? 2 ? 2i ? 6 j ? k
0
（8 分）
二、选择题（每小题 2 分，共 8 分）
密
1、将 yoz 坐标面上的抛物线 z ? 2 y2 绕 z 轴旋转一周，生成的旋转曲面的方程为（ C ）.
3、设 f ( x , y ) ? x
2 y ? 2 y ? xexy
?f ?f
，求偏导数 ,
?x ?y
，及 f ( x , y ) 在点( 2,0) 处的梯度.
（A）
z2 ? 2(x2 ? y2 )
（B）
z2 ? 4(x2 ? y2 )
解： ?f ? 2xy ? exy ? xye xy
?x
（3 分）
?f ? x2 ? 2 ? x2exy
?y
（6 分）
封
（C）
z ? 2(x2 ? y2 )
（D）
z ? 2
gradf
( 2,0)
? ?1, 6 ?
（8 分）
2、已知(x ? y3 cos x)dx ? ( y ? ay2 sin x)dy 为某函数 f (x , y) 的全微分，则a ? （ D ）.
4、求曲面ez ? z ? xy ? 3 在点( 2 ,1, 0 ) 处的切平面及法线方程.
线
（A） ? 2
（B） 2 （C） ? 3
（D） 3
令 F ? ez ? z ? xy ? 3， （2 分）
3、已知 f ( x , y ) ? x3
y3
mxy 在(1,1) 点取得极小值，则m ? （ C ）.
Fx? ? y
Fy? ? x
F?? ez ?1
（4 分）
（A） ? 1
? 2
? 3
0
Fx? (2,1, 0) ? 1， Fy? (2,1, 0) ? 2 ， Fz?(2,1, 0) ? 0 ， （6 分）
4、方程 y? 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 z ? et （ 0 ? t ? 2 ），其线密度
为 ? ( x , y , z ) ?
1
x2 ? y2 ? z2
，求此物件的质量．
解： ds ?
(et cos t ? et sin t)2 ? (et sin t ? et cos t)2 ? e2t dt ?
3et dt （3 分）
m ? ?? x2 ? y2 ? z2
（5 分）
? 1 3et dt ?
3 2 1 dt ? 3 (?e?t ) 2 ?
3 (1 ? 1 )
（7 分）
?0 2e2t
2 ?0 et 2
0 2 e2
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