异面直线所成的角求法-总结加分析

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异面直线所成的角一、平移法：常见三种平移方法：直接平移：中位线平移（尤其是图中出现了中点）：补形平移法： “补形法 ”是立体几何中一种常见的方法，通过补形，可将问题转化为易于研究的几何体来处理，利用 “补形法 ”找两异面直线所成的角也是常用的方法之一。直接平移法 1．在空间四边形 ABCD 中，AD ＝BC＝ 2， E，F 分别为 AB 、CD 的中点， EF＝ 3 ，求 AD 、 BC 所成角的大小．解：设 BD 的中点 G，连接 FG， EG。在△ EFG 中 EF＝ 3 FG＝EG＝1 ∴∠ EGF＝120° ∴AD 与 BC 成 60°的角。 2．正 ABC 的边长为 a，S 为 ABC 所在平面外的一点， SA＝ SB＝ SC＝ a，E，F 分别是 SC 和 AB 的中点．求异面直线 SA 和 EF 所成角．答案： 45° 3． S 是正三角形 ABC 所在平面外的一点，如图 SA＝ SB＝ SC，且 ASB ＝ BSC＝ CSA ＝，M 、N 分别是 AB 和 SC 的中点．求异面直线 SM 与 BN 所成的角的余弦值． 2 证明：连结 CM ，设 Q 为 CM 的中点，连结 QN 则 QN∥SM S ∴∠ QNB 是 SM 与 BN 所成的角或其补角 N 连结 BQ，设 SC＝a，在△ BQN 中 BN＝ 5 a 2 NQ＝ 1 2 SM＝ 2a 4 BQ＝ 14 a 4 ∴COS∠QNB＝ BN 2 NQ 2 BQ2 10 2BN NQ 5 C B M A 4．如图，在直三棱柱 ABC －A 1B1C1 中，∠ BCA ＝ 90°， M 、N 分别是 A 1B1 和 A 1C1 的中点，若 BC＝CA ＝CC1，求 BM 与 AN 所成的角．解：连接 MN ，作 NG∥ BM 交 BC 于 G，连接 AG ，易某某∠ GNA 就是 BM 与 AN 所成的角．设： BC＝CA ＝CC1＝2，则 AG＝ AN ＝ 5 ，GN＝BM ＝ 6 ， cos∠ GNA ＝ 6 5 5 30 。 2 6 5 10 5．如图，在正方体 ABCD A1B1C1D1 中， E、 F 分别是 BB1、CD 的中点．求 AE 与 D1 F 所成的角。 D1 C1 证明：取 AB 中点 G，连结 A 1G，FG， A1 B1 因为 F 是 CD 的中点，所以 GF∥ AD ，又 A 1D1∥AD ，所以 GF∥A 1D1，故四边形 GFD1A 1 是平行四边形， A 1G∥ D1F。 E D F C 设 A 1G 与 AE 相交于 H，则∠ A 1HA 是 AE 与 D1F 所成的角。 A B 因为 E 是 BB 1 的中点，所以 Rt△ A1AG ≌△ ABE, ∠GA 1A= ∠GAH, 从而∠ A 1HA=90°, 即直线 AE 与 D1F 所成的角为直角。 6．如图 1— 28 的正方体中， E 是 A′ D的′中点 (1)图中哪些棱所在的直线与直线 BA′成异面直线 ? D C E A F B (2)求直线 BA′和 CC′所成的角的大小； (3)求直线 AE 和 CC′所成的角的正切值； D C (4)求直线 AE 和 BA′所成的角的余弦值 A B 解：(1) ( 图 1－ 28) ∵ A 平面 BC′，又点 B 和直线 CC′都在平面 BC′内，且 B CC′， ∴ 直线 BA′与 CC′是异面直线同理，正方体 12 条棱中的 C′ D、′DD′、 DC、 AD 、B′ C′ 所在的直线都和直线 BA′成异面直线 (2)∵ CC′∥BB′，∴ BA′和 BB′所成的锐角就是 BA′和 CC′所成的角 ∵ ∠ A′ BB′ =45∴°BA′和 CC′所成的角是 45° (3)∵ AA′∥ BB′∥CC′，故 AE 和 AA′所成的锐角∠ A′ AE是 AE 和 CC′ 所成的角在 Rt△AA′Ｅ中， tan∠ A′ AE＝ A E ＝ 1 ，所以 AE 和 CC′所成角的正切值是 1 AA 2 2 ∥ ∥ (4)取 B′ C的′中点 F，连 EF、BF，则有 EF＝A B ＝ AB, ∥ ∴ ABFE 是平行四边形，从而 BF＝AE, 即 BF∥AE 且 BF=AE. ∴ BF 与 BA′所成的锐角∠ A′ BF就是 AE 和 BA′所成的角设正方体各棱长为 2，连 A′Ｆ，利用勾股定理求出△ A′BF的各边长分别为 A′Ｂ＝2 2 ，A′Ｆ＝BF＝ 5 ，由余弦定理得： cos∠ A′ B＝F (2 2 )2 ( 5) 2 ( 5 )2 10 2 22 5 5 F 5 5 A M B ( 图 1－ 29) 7. 长方体 ABCD —A 1B 1C1D1 中，若 AB=BC=3 ，AA 1=4，求异面直线 B1D 与 BC1 所成角的大小。解法一：如图④，过 B1 点作 B1E∥ BC1 交 CB 的延长线于 E 点。则∠ DB 1E 或其补角就是异面直线 DB 1 与 BC1 所成角，连结 DE 交 AB 于 M ，DE=2DM=3 5 ， cos ∠DB1E= 7 34 ∴∠ DB 1E= arc cos 7 34 。 170 170 解法二：如图⑤，在平面 D1DBB 1 中过 B 点作 BE∥DB 1 交 D1B1 的延长线于 E，则∠ C1BE 就是异面直线 DB 1 与 BC1 所成的角，连结 C1E，在△ B1C1E 中， ∠C1B1E=135°，C1E=3 7 5 ， cos∠C1BE= 34 ，∴∠ C1BE= arc cos 7 34 。 170 170 练习： 8. 如图， PA 矩形 ABCD ，已知 PA=AB=8 ， BC=10，求 AD 与 PC 所成角的余切值为。 9. 在长方体 ABCD- A 1B1C1D1 中，若棱 B B 1=BC=1 ， AB= 3 ，求 D B 和 AC 所成角的余弦值. 中位线平移法：构造三角形找中位线，然后利用中位线的性质，将异面直线所成的角转化为平面问题，解三角形求之。解法一：如图①连结 B1C 交 BC1 于 0，过 0 点作 OE∥DB 1，则∠ BOE 为所求的异面直线 DB1 与 BC1 所成的角。连结 EB，由已知有 B1D= 34 ，BC1=5，BE= 3 5 ，∴ cos ∠BOE= 7 34 2 170 ∴∠ BOE= arc cos 7 34 170 解法二：如图②，连 DB、AC 交于 O 点，过 O 点作 OE∥DB1，过 E 点作 EF∥C1B，则∠ OEF 或其补角就是两异面直线所成的角，过 O 点作 OM ∥DC，连结 MF 、OF。则 OF= 73 ， 2 cos ∠OEF= 7 34 ，∴异面直线 B1D 与 BC1 所成的角为 7 arc cos 34 。 170 170 解法三：如图③，连结 D1B 交 DB1 于 O，连结 D1A ，则四边形 ABC 1D1 为平行四边形。在平行四边形 ABC 1D1 中过点 O 作 EF∥ BC1 交 AB 、D1C1 于 E、F，则∠ DOF 或其补角就是异面直线 DB 1 与 BC1 所成的角。在 △ADF 中 DF= 3 5 ， cos ∠ DOF= 7 34 ， 2 170 ∴∠ DOF= arc cos 7 34 。 170 课堂练习 10. 在正四面体 ABCD 中，已知 E 是棱 BC 的中点，求异面直线 AE 和 BD 所成角的余弦值。 A D B E C 补形平移法：在已知图形外补作一个相同的几何体，以例于找出平行线。解法一：如图⑥，以四边形 ABCD 为上底补接一个高为 4 的长方体 ABCD-A 2B2C2D2，连结 D2B，则 DB 1∥D2B，∴∠ C1BD 2 或其补角就是异面直线 DB 1 与 BC1 所成的角，连 C1D2，则△ C1D2C2 为 Rt△， cos ∠ C1BD2= － 7 34 ，∴异面直线 DB1 与 BC1 所成的角是 170 arc cos 7 34 。 170 课堂练习： 11. 求异面直线 A 1C1 与 BD 1 所成的角的余弦值。在长方体 ABCD-A 1B1C1D1 的面 BC1 上补上一个同样大小的长方体，将 A 1C1 平移到 BE，则∠ D1BE 或其补角就是异面直线 A 1C1 与 BD 1 所成的角，在 △BD 1E 中， BD1=3，二、利用模型求异面直线所成的角模型 1 引理：已知平面 α的一条斜线 a 与平面 α所成的角为 θ1，平面 α内的一条直线 b 与斜线 a 所成的角为 θ，与它的射影 a′所成的角为 θ2。求证： cosθ= cos1·θco2s。θ 在平面的斜线 a 上取一点 P，过点 P 分别作直线 c、b 的垂线 PO、PB，垂足为 O、 B 连接 OB，则 OB⊥b. 在直角△ AOP 中， cos 1 AO . AP P a 在直角△ ABC 中， cos 2 在直角△ ABP 中， cos AB . AO AB . AP A 1 c 2 O Bb 所以 cos 1 cos 2 AO AB AB cos AP AO AP 所以 cos 1 cos 2 cos 证明：设 PA 是 α的斜线， OA 是 PA 在 α上的射影， OB//b，如图所示。则∠ PAO=θ1，∠ PAB=θ，∠ OABθ= 2，过点 O 在平面 α内作 OB⊥AB ，垂足为 B，连结 PB。可知 PB⊥ AB 。所以 cosθ1= OA ， cosθ＝AB ，cosθ2= AB 。 PA PA OA 所以 cosθ= cos1·θcos2。θ P A b B α O 利用这个模型来求两条异面直线 a 和 b 所成的角，即引理中的角 θ。需：过 a 的一个平面 α，以及该平面的一条斜线 b 以及 b 在 α内的射影。 12. 如图， MA ⊥平面 ABCD ，四边形 ABCD 是正方形，且 MA=AB=a ，试求异面直线 MB 与 AC 所成的角。解：由图可知，直线 MB 在平面 ABCD 内的射影为 AB ，直线 MB 与平面 ABCD 所成的角为 45°，直线 AC 与直线 MB 的射影 AB 所成的角为 45°，所以直线 AC 与直 MB 所成的角为 θ，满足 cos θ =cos45 °· cos14，5 所°以＝直线 AC 与 MB 所成的角为 60°。 2 M D A C B 13. 已知三棱柱 ABC A1 B1C1的侧棱与底面边长都相等， A1 在底面 ABC 上的射影为 BC 的中点，则异面直线 AB 与 CC1 所成的角的余弦值为（ D ）（A） 3 4 （B） 5 4 （C） 7 4 (D) 3 4 C1 A1 B1 C D A B 解：设 BC 的中点为 D，连结 A1 D， AD ，易知 A1AB 即为异面直线 AB 与 CC1 所成的角 , 由三角余弦定理，易知 cos cos A1 AD cos DAB AD AD 3 .故选 D A1A AB 4 14. 如图，在立体图形 P-ABCD 中，底面 ABCD 是一个直角梯形，∠ BAD=90°， AD//BC ， AB=BC=a ， AD=2a，且 PA⊥底面 ABCD ，PD 与底面成 30°角， AE⊥ PD 于 D。求异面直线 AE 与 CD 所成的角的大小。解：过 E 作 AD 的平行线 EF 交 AD 于 F，由 PA⊥底面 ABCD 可知，直线 AE 在平面 ABCD 内的射影为 AF ，直线 AE 与平面 ABCD 所 P E 成的角为∠ DAE ，其大小为 60°， D 射影 AF 与直线 CD 所成的角为∠ CDA ，其大小为 45°，所以直线与直 A F 线所成的角 θ满足 cosθ=cos60°· cos452°，＝所以其大小为 arccos 2 。 B C 4 4 模型 2 定理：四面体 ADBCD 两相对棱 AC 、BD 间的夹角为，则有证明： BD AC BD BD COS 而BD BA AD BD AC BA AD AC BA AC AD AC AB 2 AC 2 2 BC2 AD2 AC 2 2 CD 2 AD 2 BC 2 AB 2 2 CD 2 所以有： 15. 长方体 ABCD －A 1B1C1D1 中， AB=AA 1=2cm，AD=1cm，求异面直线 A 1C1 与 BD 1 所成的角。解：连结 BC1、A 1B 在四面体为，易求得由定理得：所以二、向量法求异面直线所成的角 16. 如图，在正方体 ABCD-A 1B1C1D1 中，E、F 分别是相邻两侧面 BCC1B1 及 CDD1C1 的中心。求 A 1E 和 B1F 所成的角的大小。解法一：（作图法）作图关键是平移直线，可平移其中一条直线，也可平移两条直线到某个点上。作法：连结 B1E，取 B1E 中点 G 及 A 1B1 中点 H，连结 GH，有 GH//A 1E。过 F 作 CD 的平行线 RS，分别交 CC1、DD 1 于点 R、S，连结 SH，连结 GS。由 B1H//C1D1//FS，B1H=FS，可得 B1F//SH。 A1 H B1 D1 C1 S 在△ GHS 中，设正方体边长为 a。 6 GH= a（作直线 GQ//BC 交 BB 1 于点 Q， 4 QG F E R A D B P C 连 QH，可知△ GQH 为直角三角形）， 6 26 HS= a（连 A 1S，可知△ HA 1S 为直角三角形）， GS= a（作直线 GP 交 BC 于点 P，连 2 4 PD，可知四边形 GPDS 为直角梯形）。∴ Cos∠GHS= 1 。 6 所以直线 A 1E 与直线 B1F 所成的角的余弦值为 1 。 6 A1 D1 解法二：（向量法）分析：因为给出的立体图形是一个正方体， B1 C1 所以可以在空间建立直角坐标系，从而可以利用点的坐标表示出空间中每一个向量，从而可以用 E A F D 向量的方法来求出两条直线间的夹角。以 B 为原点， BC 为 x 轴， BA 为 y 轴， BB1 为 z 轴，设 BC 长度为 2。B C 则点 A 1 的坐标为（ 0， 2， 2），点 E 的坐标为（ 1， 0， 1），点 B1 的坐标为（ 0，0，2），点 F 的坐标为（ 2，1，1）；所以向量 EA1 的坐标为（ -1，2，1），向量 B1F 的坐标为（ 2， 1， -1），所以这两个向量的夹角 θ满足 cos θ＝EA1 B1F = ( 1) 2 2 1 1 ( 1) | EA1 | | B1F | ( 1) 2 (2) 2 (1) 2 (2)2 (1)2 所以直线 A 1E 与直线 B1F 所成的角的余弦值为 1 6 =- 1 。 ( 1) 2 6 17. 已知空间四边形 ABCD 中，AB=BC=CD=DA=AC=BD=a ，M 、N 分别为 BC 和 AD 的中点，设 AM 和 CN 所成的角为 α，求 cosα的值。（平移法也可） A 解：由已知得，空间向量 AB ， AC ， AD 不共面，且两两之间的夹角均为 60°。由向量的加法可以得到 AM = 1 （ AB + AC ）， NC = 1 AD + AC 2 2 所以向量 AM 与向量 NC 的夹角 θ（即角 α或者 α的补角） B N D 满足 cosθ＝ AM NC ，其中 | AM | | NC | M C AM ·NC = 1 （ AB + AC ） ·（ 1 AD + AC ） 2 2 =1（ 1 AB ·AD + AB ·AC +（ 1 AD ） ·AC + AC ·AC ） 2 2 2 = 1 2 a （ 11 + 1 +1）= 1 a2； 2 42 4 2 | AM |2= 1 （ AB + AC ）·1 （ AB + AC ） = 1 （1+1+1） a2= 3 a2； 2 2 4 4 2 | NC | =（ 1 AD + AC ）·（ 1 1 AD + AC ）= +1 1 23 a= a2。所以 cosα=| cos θ2 |。= 2 2 4 2 4 3 18. 已知空间四边形 ABCD 中，AB=CD=3 ，E、F 分别是 BC、AD 上的点，且 BE：EC=AF ： FD=1：2，EF= 7 ，求 AB 和 CD 所成的角的大小。解：取 AC 上点 G，使 AG：GC=1： 2。连结 EG、 FG，可知 EG//AB ，FG//CD， 3EG=2AB， 3FG=CD。 A F 由向量的知识可知 EF = EG + GF = 2 BA + 1 CD ， 3 3 设向量 BA 和 CD 的夹角为 θ。则由 | EF |2=（ 2 BA 1 + CD ） ·（ 2 BA + 1 CD ） =4+1+4cosθ=7， 3 3 3 3 得 cosθ＝1 ，所以 AB 和 CD 所成的角为 60°。 2 B E G D C 19. （思考题）如图，已知平行六面体 ABCD—A1B1C1D1 中，底面 ABCD 是边长为 a 的正方形，侧棱 AA1 长为 b,且 AA1 与 AB、AD 的夹角都是 120°. 求： (1)AC1 的长； (2)直线 BD1 与 AC 所成的角的余弦值 . 技巧与方法：数量积公式及向量、模公式的巧用、变形用 . 解 : (1) | AC1 |2 AC1 AC1 ( AA1 AC )( AA1 AC ) ( AA1 AB AD )( AA1 AB AD ) | AA1 |2 | AB |2 | AD |2 2 AA1 AB 2 AA1 AD 由已知得 :| AA1 |2 b2, | AB |2 | AD |2 a2 2AB AD AA1, AB AA1, AD 120 , AB, AD 90 AA1 AB b a cos120 1 2 ab, AA1 AD b a cos120 | AC1 |2 2a2 b2 2ab, | AC1 | 2a 2 b 2 2ab. 1 ab, AB AD 0, 2 (2)依题意得 ,| AC | 2a, AC AB AD BD1 AD BA A 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 0 ° (C)45 ° (D)30 ° S E (第 11 题 ) B C F A 三．如图，四面体 ABCD 中， AC ⊥BD,且 AC ＝4，BD ＝3，M 、 N 分别是 AB 、CD 的中点，求 MN 和 BD 所成角的正切值 A 4 M 3D N B C (第三题 ) 四．如图，四面体 ABCD 中， AB ⊥ BC，AB ⊥BD ，BC⊥CD，且 AB ＝ BC＝6， BD＝8， E 是 AD 中点，求 BE 与 CD 所成角的余弦值 A 6 E B 8 D 6 (第四题 ) C 五．如图，正三棱柱的九条棱都相等，三个侧面都是正方体，点。求 MN 与 CC1 所成角的余弦值。 M 、 N 分别是 BC 和 A 1C1 的中 A1 N C1 B1 A C M B (第五题 ) 六．如图，四面体 ABCD 中， E 为 AD 中点，若 AC＝ CD＝DA ＝8，AB ＝BD ＝5，BC＝7，求 BE 与 CD 所成角的余弦值。 A 4 8 E 5 4 8 C D 7 5 ( 第六题 ) B [文章尾部最后500字内容到此结束,中间部分内容请查看底下的图片预览]请点击下方选择您需要的文档下载。

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