立体几何中的向量方法（学生版）
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第六节 立体几何的向量方法
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【高考要求】
1、理解直线的方向向量及平面的法向量；
2、能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系；
3、能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理(包括三垂线定理)；
4、能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题；
5、了解向量方法在研究立体几何问题中的应用。
【知识回顾】
1.直线的方向向量
就是指和这条直线所对应向量 的向量，显然一条直线的方向向量可以有 。
2．平面的法向量
(1)所谓平面的法向量，就是指所在的直线与平面垂直的向量，显然一个平面的法向量也有 个，它们是 ．
(2)在空间中，给定一个点A和一个向量a，那么以向量a为法向量且经过点A的平面是 的．
3．直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用
(1)直线l1的方向向量为u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量为u2＝(a2，b2，c2)．
如果l1∥l2，那么u1∥u2? ；
如果l1⊥l2，那么u1⊥u2? .
(2)直线l的方向向量为u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量为n＝(a2，b2，c2)．
如果l∥α，那么u⊥n?u·n＝0? ；
如果l⊥α，那么u∥n?u＝kn? ．
(3)平面α1的法向量为u1＝(a1，b1，c1)，平面α2的法向量为u2＝(a2，b2，c2)．
若α1∥α2，则u1∥u2?u1＝ku2? ；
若α1⊥α2，则u1⊥u2?u1·u2＝0? .
4．两条异面直线所成角的求法
(1)设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，a，b的夹角为θ，则
cos φ＝|cos θ|＝ (其中φ为异面直线a，b所成的角)．
(2)两条异面直线所成的角φ的取值范围是 .
5．直线和平面所成角的求法
(1)如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝
(2)直线和平面所成的角φ的取值范围是 .
6．求二面角的大小
(1)如图①所示，AB，CD是二面角α-l-β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小为〈，〉．
(2)如图②③所示，n1，n2分别是二面角α-l-β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小为〈n1，n2〉(或π－〈n1，n2〉)．
(3)二面角的平面角的取值范围是 ]．
7．点面距的求法
如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则B到平面α的距离d＝
基础自测
一、判断题(下列结论中，正确的打“√”，错误的打“×”)
1．若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )
2．两直线的方向向量所成的角就是两条直线 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 所成的角为45°时，求异面直线OF与BE所成角的余弦值的大小．
6．(2020·湖北XX4月调研)如图，在三棱锥P－ABC中，M为AC的中点，PA⊥PC，AB⊥BC，AB＝BC，PB＝，AC＝2，∠PAC＝30°.
(1)证明：BM⊥平面PAC；
(2)求二面角B－PA－C的余弦值．
7. (2020·*_**如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，BF＝DE，M为棱AE的中点．
(1)求证：平面BDM∥平面EFC；
(2)若DE＝2AB，求直线AE与平面BDM所成角的正弦值．
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