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专题二 函数与方程

2.1 一元二次方程

2.1.1 根的判别式

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

2.2 二次函数

2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

2.2.2 二次函数的三种表示方式

2.2.3 二次函数的简单应用

专题二 函数与方程

2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为

． ①

因为a≠0，所以，4a2＞0．于是

（1）当b2－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根

x1，2＝
；

（2）当b2－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根

x1＝x2＝－
；

（3）当b2－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边
一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．

由此可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b2－4ac来判定，我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．

综上所述，对于一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），有

当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根

x1，2＝
；

（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根

x1＝x2＝－
；

（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．

例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0；

（3） x2－ax＋(a－1)＝0； （4）x2－2x＋a＝0．

解：（1）∵Δ＝32－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．

（2）该方程的根的判别式Δ＝a2－4×1×(－1)＝a2＋4＞0，所以方程一定有两个不等的实数根

，
．

（3）由于该方程的根的判别式为

Δ＝a2－4×1×(a－1)＝a2－4a＋4＝(a－2)2，

所以，①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根

x1＝x2＝1；

②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根

x1＝1，x2＝a－1．

（4）由于该方程的根的判别式为

Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4(1－a)，

所以，①当Δ＞0，即4(1－a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根

，
；

②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根

x1＝x2＝1；

③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．

说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）

若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根

，
，

则有
；

．

所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x1，x2，那么x1＋x2＝
，x1·x2＝
．

这一关系也被称为韦达定理．

特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x2＋px＋q＝0，若x1，x2是其两根，由韦达定理可知

x1＋x2＝－p，x1·x2＝q，

即 p＝－(x1＋x2)，q＝x1·x2，

所以，方程x2＋px＋q＝0可化为 x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0，由于x1，x2是一元二次方程x2＋px＋q＝0的两根，所以，x1，x2也是一元二次方程x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．因此有：

以两个数x1，x2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是

x2－(x1＋x2)x＋x1·x2＝0．

例2 已知方程
的一个根是2，求它的另一个根及k的值．

分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．

解法一：∵2是方程的一个根，

∴5×22＋k×2－6＝0，

∴k＝－7．

所以，方程就为5x2－7x－6＝0，解得x1＝2，x2＝－
．

所以，方程的另一个根为－
，k的值为－7．

解法二：设方程的另一个根为x1，则 2x1＝－
，∴x1＝－
．

由 （－
）＋2＝－
，得 k＝－7．

所以，方程的另一个根为－
，k的值为－7．

例3 已知关于x的方程x2＋2(m－2)x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．

分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于m的方程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．

解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得

x1＋x2＝－2(m－2)，x1·x2＝m2＋4．

∵x12＋x22－x1·x2＝21，

∴(x1＋x2)2－3 x1·x2＝21，

即 [－2(m－2)]2－3(m2＋4)＝21，

化简，得 m2－16m－17＝0，

解得 m＝－1，或m＝17．

当m＝－1时，方程为x2＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；

当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去．

综上，m＝17．

说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的值，取满足条件的m的值即可．

（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成某某的前提是一元二次方程有实数根．

例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．

分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．

解法一：设这两个数分别是x，y，

则 x＋y＝4， ①

xy＝－12． ②

由①，得 y＝4－x，

代入②，得

x(4－x)＝－12，

即 x2－4x－12＝0，

∴x1＝－2，x2＝6．

∴
或

因此，这两个数是－2和6．

解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程x2－4x－12＝0的两个根．

解这个方程，得

x1＝－2，x2＝6．

所以，这两个数是－2和6．

说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．

例5 若x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根．

（1）求| x1－x2|的值；

（2）求
的值；

（3）x13＋x23．

解：∵x1和x2分别是一元二次方程2x2＋5x－3＝0的两根，

∴
，
．

（1）∵| x1－x2|2＝x12+ x22－2 x1x2＝(x1＋x2)2－4 x1x2＝

＝
＋6＝
，

∴| x1－x2|＝
．

（2）
．

（3）x13＋x23＝(x1＋x2)( x12－x1x2＋x22)＝(x1＋x2)[ ( x1＋x2) 2－3x1x2]

＝(－
)×[(－
)2－3×(
)]＝－
．

说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：

设x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则

，
，

∴| x1－x2|＝

．

于是有下面的结论：

若x1和x2分别是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0），则| x1－x2|＝
，

（其中Δ＝b2－4ac）．

今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．

例6 若关于x的一元二次方程x2－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a的取值范围．

解：设x1，x2是方程的两根，则

x1x2＝a－4＜0， ①

且Δ＝(－1)2－4(a－4)＞0． ②

由①得 a＜4，

由②得 a＜．∴a的取值范围是a＜4．

练 习

1．选择题：

（1）方程
的根的情况是 （ ）

（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根

（2）若关于x的方程mx2＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是 （ ）

（A）m＜
（B）m＞－

（C）m＜
，且m≠0 （D）m＞－
，且m≠0

2．填空:

（1）若方程x2－3x－1＝0的两根分别是x1和x2，则
＝ ．

（2）方程mx2＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ．

（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．

3．已知
，当k取何值时，方程kx2＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？

4．已知方程x2－3x－1＝0的两根为x1和x2，求(x1－3)( x2－3)的值．

习题2.1

A 组

1．选择题:

（1）已知关于x的方程x2＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）

（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2

（2）下列四个说法：

①方程x2＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；

②方程x2－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；

③方程3 x2－7＝0的两根之和为0，两根之积为
；

④方程3 x2＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．

其中正确说法的个数是 （ ）

（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个

（3）关于x的一元二次方程ax2－5x＋a2＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1

2．填空:

（1）方程kx2＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ．

（2）方程2x2－x－4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．

（3）已知关于x的方程x2－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．

（4）方程2x2＋2x－1＝0的两根为x1和x2，则| x1－x2|＝ ．

试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m2x2－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？

4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x2－7x－1＝0各根的相反数．

B 组

1．选择题:

若关于x的方程x2＋(k2－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为（ ）

（A）1或－1 （B）1 （C）－1 （D）0

填空:

（1）若m，n是方程x2＋2005x－1＝0的两个实数根，则m2n＋mn2－mn的值等于 ．

（2）如果a，b是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a3＋a2b＋ab2＋b3的值是 ．

3．已知关于x的方程x2－kx－2＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）设方程的两根为x1和x2，如果2(x1＋x2)＞x1x2，求实数k的取值范围．

4．一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x1和x2．求：

（1）| x1－x2|和
；

（2）x13＋x23．

5．关于x的方程x2＋4x＋m＝0的两根为x1，x2满足| x1－x2|＝2，求实数m的值．

C 组

1．选择题：

（1）已知一个直角三角形的两条直角边某某恰好是方程2x2－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边某某等于（ ）

（A）
（B）3 （C）6 （D）9

（2）若x1，x2是方程2x2－4x＋1＝0的两个根，则
的值为 （ ）

（A）6 （B）4 （C）3 （D）

（3）如果关于x的方程x2－2(1－m)x＋m2＝0有两实数根α，β，则α＋β的取

值范围是（ ）

（A）α＋β≥
（B）α＋β≤
（C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1

（4）已知a，b，c是ΔABC的三边某某，那么方程cx2＋(a＋b)x＋
＝0的根的

情况是（ ）

（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根

（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根h

2．填空：

若方程x2－8x＋m＝0的两根为x1，x2，且3x1＋2x2＝18，则m＝ ．

3． 已知x1，x2是关于x的一元二次方程4kx2－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．

（1）是否存在实数k，使(2x1－x2)( x1－2 x2)＝－
成某某？若存在，求出k的值；若不存在，说明理由；

（2）求使
－2的值为整数的实数k的整数值；

（3）若k＝－2，
，试求
的值．

4．已知关于x的方程
．

（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；

（2）若这个方程的两个实数根x1，x2满足|x2|＝|x1|＋2，求m的值及相应的x1，x2．

5．若关于x的方程x2＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值范围．

2.2 二次函数

2.2.1 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

问题1 函数y＝ax2与y＝x2的图象之间存在怎样的关系？

为了研究这一问题，我们可以先画出y＝2x2，y＝
x2，y＝－2x2的图象，通过这些函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系，推导出函数y＝ax2与y＝x2的图象之间所存在的关系．

先画出函数y＝x2，y＝2x2的图象．

先列表：

x

…

－3

－2

－1

0

1

2

3

…



x2

…

9

4

1

0

1

4

9

…



2x2

…

18

8

2

0

2

8

18







从表中不难看出，要得到2x2的值，只要把相应的x2的值扩大两倍就可以了．

再描点、连线，就分别得到了函数y＝x2，y＝2x2的图象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数y＝2x2的图象可以由函数y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．

同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝
x2，y＝－2x2的图象，并研究这两个函数图象与函数y＝x2的图象之间的关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y＝ax2(a≠0)的图象可以由y＝x2的图象各点的纵坐标变为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax2(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．

问题2 函数y＝a(x＋h)2＋k与y＝ax2的图象之间存在怎样的关系？

同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)2＋1与y＝2x2的图象（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x2的图象向左平移一个单位，再向上平移一个单位，就可以得到函数y＝2(x＋1)2＋1的图象．这两个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．

类似地，还可以通过画函数y＝－3x2，y＝－3(x－1)2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．

通过上面的研究，我们可以得到以下结论：

二次函数y＝a(x＋h)2＋k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而且“k正上移，k负下移”．

由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：

由于y ＝ ax2＋bx＋c＝a(x2＋
)＋c

＝ a(x2＋
＋
)＋c－

＝
，

所以，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：

（1）当a＞0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向上；

顶点坐标为
，对称轴为直线x＝－
；

当x＜
时，y随着x的增大而减小；当x＞
时，y随着x的增大而增大；当x＝
时，函数取最小值y＝
．

（2）当a＜0时，函数y＝ax2＋bx＋c图象开口向下；

顶点坐标为
，对称轴为直线x＝－
；

当x＜
时，y随着x的增大而增大；当x＞
时，y随着x的增大而减小；当x＝
时，函数取最大值y＝
．

上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题．

例1 求二次函数y＝－3x2－6x＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．

解：∵y＝－3x2－6x＋1＝－3(x＋1)2＋4，

∴函数图象的开口向下；

对称轴是直线x＝－1；

顶点坐标为(－1，4)；

当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；

当x＜－1时，y随着x的增大而增大；

当x＞－1时，y随着x的增大而减小；

采用描点法画图，选顶点 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ）

（A）有最大值6 （B）有最小值6

（C）有最大值10 （D）有最大值2

（3）函数y＝2x2＋4x－5中，当－3≤x＜2时，则y值的取值范围是 （ ）

（A）－3 ≤ y ≤1 （B）－7 ≤ y ≤1

（C）－7 ≤ y ≤11 （D）－7 ≤ y ＜11

2．填空：

（1）已知某二次函数的图象与x轴交于A(－2，0)，B(1，0)，且过点C（2，4），则该二次函数的表达式为 ．

（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为 ．

3．把已知二次函数y＝2x2＋4x＋7的图象向下平移3个单位，在向右平移4个单位，求所得图象对应的函数表达式．

4．已知某二次函数图象的顶点为A（2，－18），它与x轴两个交点之间的距离为6，求该二次函数的解析式．

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