第一节 一元二次方某某的根与系数的关系拓展
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拓展2
第一节 一元二次方某某的根与系数的关系
关于根与系数的关系（又称韦达定理）
两根为、，则，，逆定理也存在。
即以、为根的一元二次方某某（二次项系数为1）是
练习：1. 若x1，x2是方某某2x2 – 3x – 1 = 0的两个根，则x1 + x2 = _________，
x1x2 = __________；
2. 如果x1，x2是方某某的两个根，那么x1 + x2 = ______，
x1x2 = _______________；
3. 若关于x的一元二次方某某有根，则当m=__________时，方某某有两个互为相反数的根；
4． 如果关于x的方某某的两个根为x1，x2，则b = _____，c =____；
5．如果方某某的两个根分别为，，那么p =____，q=___；
6．以，为根且二次项系数为的一元二次方某某是_____________；
练习答案：
1．，； 2. ，； 3. m = 2； 4. ，；
5． ，1； 6. .
韦达定理主要用途：
（1）不解方某某求有关两根的对称式的值，一般有四种基本类型：
分式形式往往通分，如：，
多项式形式的往往因式分解，如：
多项式乘积形式往往利用法则展开，如：，
用恒等变形公式，如：，，，
练习：1. 已知、是方某某的两个实数根，则=______；
2． 若方某某的两个实数根为、，则=___________；
3. 设x1，x2是方某某x2– 4x+1=0的两个根，则________________；
练习答案：1. – 14； 2. ； 3. 3.
（2）已知两数的和与积，求这两个数：
例：两数和为14，两数积为 – 1，则这两个数为____________________；
解：设两个数为a，b，则a + b = 14，ab = – 1.可把a，b看作是方某某
x2 – 14x – 1 = 0的两根，
解x2 – 14x – 1 = 0得，所以这两个数为和
练习：如果两个数的和是– 7，它们的积是– 18，那么这两个数是_______.（答案：– 9和2）
（3）已知方某某的一个根，求另一个根及方某某中某个字母的值：
关于x的一元二次方某某的一个根是零，则m = ___；
已知x2 – 7x + 15 = k的一个根是2，则k的值是_________________；
已知是方某某的一个根，则这个方某某的另一个根是______；
方某某的一个根为3，则另一根为______，k =_________；
方某某的一个根为3，则另一根为_______，a =__________；
若关于x的方某某的一个根是另一个根的2倍，则m的值是_____.
练习答案：1. ； 2. 5； 3. ； 4. – 6，– 17；
5. ，– 5； 6. 2.
（4）作出新方某某，使新方某某的两根是原方某某两根的某种关系：
例：已知方某某，求作一个一元二次方某某，使它的两个根分别比已知方某某各根的平方大2.
解：设方某某的两根为、，则，
则新方某某的两根为，，则，
所以，新方某某为即4
练习：1. 已知关于x的方某某的两个根为、，以，为根的一元二次方某某为________________________；
2. 设x1，x2是关于x的方某某的两根， ，是关于x的方某某的两根，则p、q的值 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ； 2. D； 3. C.
3．解有关一元二次方某某综合题的顺序：
（1）先整理方某某为一般式；
（2）再考虑二次项的系数不为零，即a≠0，如果不明确，则要分类讨论；
（3）凡是和根与系数关系有关的问题先考虑二次项系数不为0，再考虑；
（4）注意题目中的一些隐含条件，如偶次方根的被开方数为非负数；
（5）可利用配方的方法确定一些带字母的代数式的符号；
（6）两根为、， a，b，c，五个量中知道任意的三个，可以通过解方某某组和韦达定理求得另两个。
4．其他有用的结论：（1）方某某等价于某某；
（2）一个二次多项式A为完全平方式等价于某某A = 0有两个相等的实数根；
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