第3章 整式的乘法（知识点组合卷XXXXX浙教7下）
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第3章 整式的乘法（知识点组合卷）
知识点1 幂的运算
幂的运算性质（基础）：
am·an＝am＋n （m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加．
【同底数幂相乘注意事项】
1）底数为负数时，先用同底数幂乘法法则计算，根据指数是奇偶数来确定结果的正负，并且化简到底。
2）不能疏忽指数为1的情况。
3）乘数a可以看做有理数、单项式或多项式（整体思想）。
4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。
典例1（2019·新蔡县期末）若2x=5，2y=3，则22x+y=_____．
【答案】75
【详解】∵2x=5，2y=3，
∴22x+y=（2x）2×2y=52×3=75，
故答案为：75．
典例2（2017·洪泽县期中）已知，则x的值为____________.
【答案】6
【解析】把因数的底数都转化为2，再运用同底数幂的乘法法则，所以：
，则有3x+5=23，解得x=6.
故答案是：6.
典例3（2018·台州市期末）已知，则n的值是________________．
【答案】5
【解析】详解:∵，
∴，
∴，
∴n+3=8，
∴n=5.
故答案为：5.
(am)n＝amn （m、n为正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘．
【同底数幂相乘注意事项】负号在括号内时，偶次方结果为正，奇次方为负，负号在括号外结果都为负。
典例1（2018·长春市期末）若，，则的值为_____.
【答案】18
【详解】∵xm=2，xn=3，
∴xm+2n=xmx2n=xm（xn）2=2×32=2×9=18；
故答案为：18．
典例2（2019·中山市期末）已知m+2n+2＝0，则2m?4n的值为_____．
【答案】
【详解】∵m+2n+2＝0，
∴m+2n=-2，
∴2m?4n=2m?22n=2m+2n=2-2=.
故答案为：
典例3（2019·襄樊市期末）若，则的值是_______．
【答案】32
【详解】8x×16y＝（23）x×（24）y＝23x×24y＝23x＋4y＝25＝32．
故答案为：32
(ab)n＝anbn （n为正整数） 积的乘方等于各因式分别乘方，再把所得的幂相乘．
典例1（2019·富阳市期末）（－2）2018×（－ ）2019 =____________。
【答案】
【详解】（－2）2018×（－ ）2019 =[（－2）×（－ ）]2018×（－ ）=1×（－ ）=－.
故答案为：－.
典例2（2019·临潼区期末）若，，则__________．
【答案】20
【详解】∵，，
∴.
故答案为：20.
典例3（2017·成都市期末）（㧟2ab2）3=_____．
【答案】㧟8a3b6
【详解】.
故答案为：.
am ÷an＝am－n （a≠0，m、n都是正整数，且m＞n） 同底数幂相除，底数不变，指数相减．
【同底数幂相除注意事项】
1.因为0不能做除数，所以底数a≠0.
2.运用同底数幂法则关键看底数是否相同，而指数相减是指被除式的指数减去除式的指数。
3.注意指数为1的情况，如x8÷x= x7 ，计算时候容易遗漏或将x的指数当做0.
4.多个同底数幂相除时，应按顺序计算。
a0＝1 （a≠0）任何一个不等于零的数的零指数幂都等于l．
典例1（2018·邯郸市期末）已知4x=2x+3，则x=_________．32÷8n-1=2n，则n=_________．
【答案】3 2
【解析】∵4x=22x，4x=2x+3，
可得：2x=x+3，
解得：x=3；
∴32÷8n-1=25÷23n-3，32÷8n-1=2n，
可得：5-3n+3=n，
解得：n=2.
典例2（2017·太仓市期末）已知，则＝_______．
【答案】100
【详解】由已知可得2x-3y=2，
所以=102x÷103y=102x-3y=102=100.
故答案为：100.
典例3（2018·深圳市期末）已知3a=5，9b=10，则3a-2b=____.
【答案】
【详解】∵9b=10，∴32b=10，
∵3a=5，
∴3a-2b=3a÷32b=，
故答案为：.
知识点2 整式乘法
单项式×单项式
单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
单项式乘法易错点：
典例1（2018·江苏中考真题）计算： x?（㧟2x2）3=_____．
【答案】㧟4x7
【解析】分析：直接利用积的乘方运算法则化简，再利用单项式乘以单项式计算得出答案．
详解：x?（㧟2x2）3
=x?（㧟8x6）
=㧟4x7．
故答案为：㧟4x7．
典例2（2019·永济市期末）如果单项式－22x2my3与23x4yn＋1的差是一个单项式，则这两个单项式的积是______.
【答案】－32x8y6
【详解】由题意可得，
解得m=2，n=2，
则这两个单项式的积为：－22x4y3×23x4y3=－32x8y6.
故答案为－32x8y6.
【点睛】本题考查了同类项和同底数幂的乘法，解此题的关键在于根据题意得到两个单项式为同类项，则相应字母的指数相等，求得指数的值，再根据同底数幂的乘法法则求解即可.
典例3（2019·宝塔区期末）有理数a， b，满足， =________；
【答案】6
【详解】∵|a-b-2|+（2a+2b-8）2=0，
∴a-b-2=0，2a+2b-8=0，
解得：a=3，b=1，
则（-ab）?（-b3）?（2ab）=a2b5=×9×1=6．
故答案为：6
典例4（2017·崇仁县期末）如果xny4与2xym相乘的结果是2x5y7，那么mn=_____．
【答案】12
【解析】 ，∴n+1=5，m+4=7，解得：m=3，n=4，∴mn=12．故答案为：12．
单项式×多项式
单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加
【单项式乘以多项式注意事项】
1.单项式乘多项式的结果是多项式，积的项数与原多项式的项数相同。
2.单项式分别与多项式的每一项相乘时，要注意积的各项符号。（同号相乘得正，异号相乘得负）
3.不要出现漏乘现象，运算要有顺序。
典例1（2018·广西中考真题）已知ab=a+b+1，则（a㧟1）（b㧟1）=_____．
【答案】2
【详解】（a㧟1）（b㧟1）= ab㧟a㧟b+1，
当ab=a+b+1时，
原某某=ab㧟a㧟b+1
=a+b+1㧟a㧟b+1
=2，
故答案为：2．
典例2若(x3＋ax2－x2)·(－8x4)的运算结果中不含x的六次项，则a的值为___．
【答案】1
【详解】解：（x3+ax2-x2）（-8x4）= ， ∵运算结果中不含x6项， ∴(-8a+8)=0，
∴a=1， 故答案为：1．
典例3（2019·*_**）计算：2m2?(m2+n?1)=____．
【答案】2m4+2m2n-2m2
【详解】2m2?(m2+n?1)= 2m4+2m2n-2m2
故答案为：2m4+2m2n-2m2
典例4（2019·卧龙区期末）若ab2=-6，则-ab(a2b5-ab3-b)的值为_________．
【答案】246
【详解】原某某=-a3b6+a2b4+ab2=-（ab2）3+（ab2）2+ab2，
当ab2=-6时，
原某某=-（-6）3+（-6）2-6=216+36-6=246，
故答案为：246．
多项式×多项式
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
【多项式乘以多项式注意事项】
多项式与多项式相乘时，多项式的每一项都应该带上它前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定各项的符号。
典例1（2017·宜城市期末）若x2+mx㧟n=（x+2）（x㧟5），则m=_____，n=_____．
【答案】 㧟3 10
【解析】（x+2）（x㧟5）= x2-3x-10，
所以m=-3，n=10.
典例 2已知，则______．
【答案】180.
【详解】解：，，
典例3（2017·*_**）多项式的展开结果中的的一次项系数为3，常数项为2，则的值为_________ .
【答案】－6
【解析】详解：（x-m）（x-n）
=x2-（m+n）x+mn，
由题意得，m+n=-3，mn=2，
则m2n+mn2=mn（m+n）=-6，
故答案为：-6．
典例4（2018·*_**）（2x2㧟3x㧟1）（x+b）的计算结果不含x2项，则b的值为_____．
【答案】
【详解】解：原某某＝2x3+2bx2㧟3x2㧟3bx㧟x㧟b
由于不含x2项，
∴2b㧟3＝0，
∴b＝，
故答案为：．
特殊多项式相乘（考点）
完全平方公式：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
（a－b）2＝a2－2ab＋b2
【扩展】
扩展一(公式变化)： +
+2ab
扩展二： + = 2(+ )
- = 4ab
扩展三： + + = -2ab-2ac-2bc
典例 1已知x＝y+95，则代数式x2㧟2xy+y2㧟25＝_____．
【答案】9000
【详解】x＝y+95
x-y=95
x2㧟2xy+y2㧟25
=（x-y）2-25
=952-52
=（95-5）（95+5）
=90×100
=9000
典例2 若，，则．
【答案】22
【解析】详解: ∵，，
∴
=36-14
=22.
故答案为：22.
典例3 已知，， （1）则____；（2）则___．
【答案】；
【解析】试题解析：将a+b=-3两边平方得：（a+b）2=a2+b2+2ab=9， 把ab=-2代入得：a2+b2-4=9，即a2+b2=13； （a-b）2=a2+b2-2ab=13+4=17，即a-b=±．
典例4 若，则 ________________.
【答案】8
【详解】解：∵可化为，化为
∴原某某==32-1=8
典例 5若，则 __________．
【答案】
【解析】试题解析：（m-n）2=（m+n）2-4mn，
当m+n=3，mn=22，原某某=32-4×2=1．
∴m-n=±1
故答案为±1．
② 平方差公式：（a＋b）（a－b）＝a2－b2
【运用平方差公式注意事项】
1.对因式中各项的系数、符号要仔细观察、比较，不能误用公式．如：(a＋3b)(3a-b)，不能运用平方差公式． 2.公式中的字母a、b可以是一个数、一个单项式、一个多项式。所以，当这个字母表示一个负数、分式、多项式时，应加括号避免出现只把字母平方，而系数忘了平方的错误．
典例1 设S=（1+2）（1+22）（1+24）（1+28）（1+216），则S+1=______．
【答案】232．
【详解】S=(1+2)(1+22)(1+24)(1+28)(1+216)
=(2㧟1)×(2+1)×(1+22)×(1+24)×(1+28)×(1+216)
=(22㧟1)×(1+22)×(1+24)×(1+28)×(1+216)
=232㧟1，
故S+1=232，
故答案为：232．
典例2 计算:若，，则的值为________.
【答案】12
【详解】解：(a+1)2㧟(b㧟1)2
=(a+1+b-1)(a+1-b+1)
=(a+b)(a-b+2)
∵a+b=4，a㧟b=1
∴原某某=4×3=12.
典例3 计算：20182－2017×2019＝____．
【答案】1
【详解】原某某，
故答案为：1
典例4，则 ______ ．
【答案】
【详解】已知等式整理得：9（a+b）2-1=899，即（a+b）2=100，
开方得：a+b=±10，
故答案为：±10
典例5 计算： =_____.（结果中保留幂的形式）
【答案】216㧟1．
【详解】原某某=（2㧟1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）
=（22㧟1）（22+1）（24+1）（28+1）
=（24㧟1）（24+1）（28+1）
=（28㧟1）（28+1）
=216㧟1．
故答案为：216㧟1．
巩固训练
选择题（共10小题）
1．（2018·龙岩市期末）若，，则下列结论正确是（ ）
A.a＜b B. C.a＞b D.
【答案】B
【解析】，
故选B.
【名师点睛】本题考查了有关幂的运算、幂的大小比较的方法，一般说来，比较几个幂的大小，或者把它们的底数变得相同，或者把它们的指数变得相同，再分别比较它们的指数或底数.
2．（2017·*_**）把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（ ）
A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3
C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3
【答案】B
【解析】详解：（x+1）（x-3）
=x2-3x+x-3
=x2-2x-3
所以a=2，b=-3，
故选B．
3．（2017·*_**）计算的结果为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得=，再根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得.
故选：D.
4．（2019·腾冲市期末）下列运算正确的是（ ）
A．3x+4y=7xy B．（㧟a）3?a2=a5 C．（x3y）5=x8y5 D．m10÷m7=m3
【答案】D
【解析】详解：A、3x、4y不是同类项，不能合并，此选项错误；
B、（-a）3?a2=-a5，此选项错误；
C、（x3y）5=x15y5，此选项错误；
D、m10÷m7=m3，此选项正确；
故选：D．
5．（2019·*_**）下列运算：①a2?a3=a6，②（a3）2=a6，③a5÷a5=a，④（ab）3=a3b3，其中结果正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】详解：①a2?a3=a5，故原题计算错误；
②（a3）2=a6，故原题计算正确；
③a5÷a5=1，故原题计算错误；
④（ab）3=a3b3，故原题计算正确；
正确的共2个，
故选B．
6．（2017·*_**）x5·（xm）n的计算结果是( )
A.xm+n+5 B.x5mn C.x5+mn D.
【答案】C
【详解】x5?（xm）n=x5?xmn=x5+mn．
故选：C．
【名师点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方，熟练掌握运算性质和法则是解题的关键．
7．（2017·*_**） ( )
A. B.1 C.0 D.1997
【答案】B
【解析】根据积的乘方，等于各个因式分别乘方，可得==1.
故选：B
8．（2017·*_**）已知xa=3，xb=4，则x3a-2b的值是（ ）
A. B. C.11 D.19
【答案】B
【解析】根据同底数幂的除法和幂的乘方的逆运算，可知x3a-2b=x3a÷x2b=（xa）3÷（xb）2，然后整体代入即可得原某某=33÷42=.
故选：B
9．（2018·新余市期末）已知：，则
A．16 B．25 C．32 D．64
【答案】C
【解析】∵，
∴.
故选C.
10．（2018·聊城市）如果a=355，b=444，c=533，那么a、b、c的大小关系是（ ）
A．a＞b＞c B．c＞b＞a C．b＞a＞c D．b＞c＞a
【答案】C
【详解】a=355=（35）11=24311，
b=444=（44）11=25611，
c=533=（53）11=12511，
∵256＞243＞125，
∴b＞a＞c．
故选C．
【名师点睛】本题考查了幂的乘方，关键是掌握amn=（an）m．
8．（2018·高新区期末）的个位数是
A.4 B.5 C.6 D.8
【答案】C
【详解】3（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1 =（24-1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1…=264-1+1=264，
∵21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，…，
∴个位上数字以2，4，8，6为循环节循环，
∵64÷4=16，
∴264个位上数字为6，即原某某个位上数字为6．
故选：C
【名师点睛】本题考核知识点：此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
9．（2019·长兴县期中）下面是一位同学做的四道题：①.②.③.④.其中做对的一道题的序号是（ ）
A.① B.② C.③ D.④
【答案】C
【解答】①.故错误.
②.故错误.
③.正确.
④ 故错误.
故选C.
【点评】考查完全平方公式，同底数幂的乘法，同底数幂的除法以及积的乘方，熟记它们的运算法则是解题的关键.
10．（2018·邢台市期末）观察下列两个多项式相乘的运算过程：
根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）=x2-7x+12，则a，b的值可能分别是（ ）
A．， B．，4 C．3， D．3，4
【答案】A
【详解】根据题意得，a，b的值只要满足即可，
A.-3+（-4）=-7，-3×（-4）=12，符合题意；
B.-3+4=1，-3×4=-12，不符合题意；
C.3+（-4）=-1，3×（-4）=-12，不符合题意；
D.3+4=7，3×4=12，不符合题意.
故答案选A.
【名师点睛】本题考查了多项式乘多项式，解题的关键是根据题意找出规律.
11．（2018·河东区期末）（x2㧟mx+6）（3x㧟2）的积中不含x的二次项，则m的值是（ ）
A.0 B. C.㧟 D.㧟
【答案】C
【解析】试题解析：（x2㧟mx+6）（3x㧟2）=3x3㧟（2+3m）x2+（2m+18）x㧟12，
∵（x2㧟mx+6）（3x㧟2）的积中不含x的二次项，
∴2+3m=0，
解得，m=，
故选C．
12．（2018·松江区期中）若的计算结果中，不含项，则的值是（ ）
A.0 B.7 C.-7 D.
【答案】C
【详解】 .
乘积中不含项， 7+q=0． q=-7. 所以C选项是正确的.
【名师点睛】考查了多项式乘多项式，灵活掌握多项式乘以多项式的法则，注意各项符号的处理.
13．（2018·唐山市期末）下列算式能用平方差公式计算的是( )
A.(2a+b)(2b㧟a) B.(㧟2x㧟1)(㧟2x㧟1)
C.(3x㧟y)(㧟3x+y) D.(㧟m㧟n)(㧟m+n)
【答案】D
【解析】详解：A选项（2a+b）(2b-a)不符合平方差公式，故A错；
B选项两个整式中各项均相同，不符合平方差公式，故B错；
C选项两个整式中各项均互为反项，不符合平方差公式，故C错；
D选项中两个整式中一项是相同项，另一项互为相反项，符合平方差公式，故D正确.
故选D.
14.（2018·临沭县期末）已知(m－n)2＝36，(m＋n)2＝4 000，则m 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 所以b－a＝－7.则：
(1)
＝ab(b－a)
＝－12×7＝－84；
(2)
＝(a－b)2＋2ab
＝(－7)2＋2×(－12)
＝25；
(3)
＝±
＝±
＝±
＝±1.
31．（2017·昌平区期中）已知，，，求的值．
【答案】3
，
∵，，，
代入原某某
．
32．（2019·*_**）先化简，再求值：已知代数式化简后，不含有x2项和常数项.
（1）求a、b的值；
（2）求的值.
【答案】（1）；（2）-6.
【详解】解：原某某=2ax2+4ax-6x-12-x2-b
=，
∵代数式（ax-3）（2x+4）-x2-b化简后，不含有x2项和常数项．， ∴2a-1=0，-12-b=0，
∴ ， ；
(2) 解：∵a= ，b=-12， ∴（b-a）（-a-b）+（-a-b）2-a（2a+b） =a2-b2+a2+2ab+b2-2a2-ab =ab =×（-12） =-6．
故答案为：（1）a= ，b= -12；（2）-6.
【名师点睛】本题考查整式的混合运算和求值，解题的关键是正确运用整式的运算法则进行化简．
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