专题 函数零点性质
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专题 函数零点性质
姓名：___________班级：___________
选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．若曲线??=
2
??
?4，??＞??
??
2
?4??+3，??≤??
与x轴有且只有2个交点，则实数a的取值范围是（ ）
A．1≤a≤2 B．a≥3 C．1≤a≤2或a≥3 D．1≤a＜2或a≥3
【解答】解：作出函数y＝2x㧟4与y＝（x㧟1）（x㧟3）的图像，如下：
由图可知，当a＜1时，只有B一个零点；
当1≤a＜2时，有A，B两个零点；
当2≤a＜3时，有A一个零点；
当a≥3时，有A，C两个零点；
综上，实数a的取值范围是1≤a＜2或a≥3，
故选：D．
2．已知函数f（x）=
2
|??|
，??≤0
3
??
，??＞0
，若方程f（x）＝k有且仅有两个不等实根，则实数k的取值范围是（ ）
A．k≥1 B．1≤k＜3 C．0＜k＜1 D．k≤3
【解答】解：由题意作出函数f（x）的图象，如图，
因为方程f（x）＝k有且仅有两个不等实根，
所以函数y＝k与函数y＝f（x）的图象有且仅有两个交点，
由函数y＝f（x）和y＝k的图象可得，k≥1．
故选：A．
3．若函数f（x）＝|logax|㧟2㧟x（a＞0且a≠1）的两个零点是m、n，则（ ）
A．mn＝1 B．mn＞1 C．0＜mn＜1 D．以上都不对
【解答】解：当a＞1时，
函数f（x）＝|logax|㧟2㧟x（a＞0且a≠1）有两个零点，
即y＝|logax|与y＝2㧟x有两个交点，
根据图知两交点的横坐标即为函数数f（x）＝|logax|㧟2㧟x（a＞0且a≠1）的两个零点m、n，
不妨设m＜n，∴0＜m＜1＜n，
又y＝2㧟x为减函数，2㧟m＞2㧟n，所以|logam|＞|logan|，
∴㧟logam＞logan，∴logam+logan＜0loganm＜loga1，∴0＜mn＜1，
当0＜a＜1时，同理可得0＜mn＜1，故选：C．
4．已知函数??(??)=
|
2
??
?1|，??＜1
2???，??≥1
，若关于x的函数y＝2f2（x）+2bf（x）+1有6个不同的零点，则实数b的取值范围是（ ）
A．b＜?
3
2
或b＞
2
B．?
3
2
＜??＜?
2
C．b＜?
3
2
或b＞0 D．?
3
2
＜b＜0
【解答】解：作出函数f（x）的大致图像，如图所示：
设f（x）＝t，则当t＝1或t＜0时，方程f（x）＝t只有1个解，
当t＝0时，方程f（x）＝t有2个解，
当0＜t＜1时，方程f（x）＝t有3个解，
当t＞1时，方程f（x）＝t无解，
∵关于x的函数y＝2f2（x）+2bf（x）+1有6个不同的零点，
∴关于t的方程2t2+2bt+1＝0在（0，1）上有两个不相等的根，
∴
△=4
??
2
?8＞0
0＜?
??
2
＜1
2+2??+1＞0
，解得：?
3
2
＜??＜?
2
，
即实数b的取值范围是（?
3
2
，?
2
），故选：B．
5．已知函数f（x）=
1+
??????
??
|??
|
，??≤?1
(??+1
)
2
+2
??
，??＞?1
，方程f（x）㧟1＝0有两解，则a的取值范围是（ ）
A．（
1
2
，1） B．（0，
1
2
） C．（0，1） D．（1，+∞）
【解答】解：因为f（x）=
1+????
??
??
|??|，??≤?1
(??+1
)
2
+2??，??＞?1
，
所以a＞0且a≠1，
当0＜a＜1时，f（x）在（ 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 |
??
2
?2??|
?2+
1
|
??
2
?2??|
?k＝0，
令|x2㧟2x|＝t（t＞0），
??
2
+2??
??
?2+
1
??
?k＝0，即
??
2
?(??+2)??+2??+1
??
=0，
由t＝|x2㧟2x|的图象可知，h（x）要有6个零点，
则t2㧟（k+2）t+2k+1＝0有两个实数根，t1∈（0，1），t2∈（1，+∞），
设m（t）＝t2㧟（k+2）t+2k+1，
则
??(0)＞0
??(1)＜0
，即
2??+1＞0
1?(??+2)+2??+1＜0
，解得?
1
2
＜k＜0，
综上可知，k的取值范围为（?
1
2
，0）．
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