专题 函数11零点性质
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专题 函数零点性质
姓名：___________班级：___________
不妨设m＜n，∴0＜m＜1＜n，
又y＝2㧟x为减函数，2㧟m＞2㧟n，所以|logam|＞|logan|，
∴㧟logam＞logan，∴logam+logan＜0loganm＜loga1，∴0＜mn＜1，
当0＜a＜1时，同理可得0＜mn＜1，故选：C．
4．已知函数??(??)=
|
2
??
?1|，??＜1
2???，??≥1
，若关于x的函数y＝2f2（x）+2bf（x）+1有6个不同的零点，则实数b的取值范围是（ ）
A．b＜?
3
2
或b＞
2
B．?
3
2
＜??＜?
2
C．b＜?
3
2
或b＞0 D．?
3
2
＜b＜0
【解答】解：作出函数f（x）的大致图像，如图所示：
设f（x）＝t，则当t＝1或t＜0时，方程f（x）＝t只有1个解，
当t＝0时，方程f（x）＝t有2个解，
当0＜t＜1时，方程f（x）＝t有3个解，
当t＞1时，方程f（x）＝t无解，
∵关于x的函数y＝2f2（x）+2bf（x）+1有6个不同的零点，
∴关于t的方程2t2+2bt+1＝0在（0，1）上有两个不相等的根，
∴
△=4
??
2
?8＞0
0＜?
??
2
＜1
2+2??+1＞0
，解得：?
3
2
＜??＜?
2
，
即实数b的取值范围是（?
3
2
，?
2
），故选：B．
5．已知函数f（x）=
1+
??????
??
|??
|
，??≤?1
(??+1
)
2
+2
??
，??＞?1
，方程f（x）㧟1＝0有两解，则a的取值范围是（ ）
A．（
1
2
，1） B．（0，
1
2
） C．（0，1） D．（1，+∞）
【解答】解：因为f（x）=
1+????
??
??
|??|，??≤?1
(??+1
)
2
+2??，??＞?1
，
所以a＞0且a≠1，
当0＜a＜1时，f（x）在（㧟∞，㧟1）上单调递增，
f（x）max＝f（㧟1）＝1，
又f（x）在（㧟1，+∞）上单调递增，且f（x）＞f（㧟1）＝2a，方程f（x）㧟1＝0有两个解，
所以2a＜1，所以0＜a＜
1
2
，
当a＞1时，f（x）在（㧟∞，㧟1）上单调递减，f（x）min＝f（㧟1）＝1，
又在（㧟1，+∞）上，f（x）单调递增，且f（x）＞f（㧟1）＝2a，
所以方程f（x）㧟1＝0要有两解，所以2a＜1，此时不成立，
综上所述，0＜a＜
1
2
，故选：B．
6．已知f（x）=
?
??
2
?2??+1，??≤0
?2??+1，??＞0
，则函数g（x）＝f（x）㧟e㧟x的零点个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：令g（x）＝0?f（x）＝e㧟x，
则函数g（x）的零点个数即函数y＝f（x）和y＝e㧟x图象交点的个数，
作出函数y＝f（x）和y＝e㧟x的草图，
数形结合易得函数y＝f（x）和y＝e㧟x图象共有2个交点，
所以函数g（x）有2个零点．
故选：B．
7．数学家高斯是世界著名的数学家之一，他一生成就极为丰硕，仅以他的名字“高斯”命名的成果多达110个，为数学家中之最对于高斯函数y＝[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[1.7]＝1，[㧟1.2]＝㧟2，{x}表示实数x的非负纯小数，即{x}＝x㧟[x]，如{1.7}＝0.7，{㧟1.2}＝0.8．若函数y＝{x}㧟1+logax（a＞0，且a≠1）有且仅有3个不同的零点，则实数a的取值范围为（ ）
A．[3，4） B．（3，4] C．[2， 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 |
??
2
?2??|
?2+
1
|
??
2
?2??|
?k＝0，
令|x2㧟2x|＝t（t＞0），
??
2
+2??
??
?2+
1
??
?k＝0，即
??
2
?(??+2)??+2??+1
??
=0，
由t＝|x2㧟2x|的图象可知，h（x）要有6个零点，
则t2㧟（k+2）t+2k+1＝0有两个实数根，t1∈（0，1），t2∈（1，+∞），
设m（t）＝t2㧟（k+2）t+2k+1，
则
??(0)＞0
??(1)＜0
，即
2??+1＞0
1?(??+2)+2??+1＜0
，解得?
1
2
＜k＜0，
综上可知，k的取值范围为（?
1
2
，0）．
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