-学年人教A版选修2-2 1.1第3课时导数的几何意义 学案
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1.1 第三课时 导数的几何意义
一、课前准备
1.课时目标
1. 回顾导数的概念并会运用导数的概念求函数的导数；
2. 理解导数的几何意义，会求曲线上某一点处的切线方程。
2.基础预探
1．函数y＝f(x)在点处的导数f′()的几何意义是 ________.
相应地，曲线y＝f(x)在点P(，f())处的切线方程为 ________.
2．利用导数的几何意义，求在点(，f())处的切线方程的一般方法，可分两步：
(1) __________________________；
(2) __________________________.
二、学习引领
1．利用导数的几何意义求曲线上一点的切线
(1)若验证所给点(，)适合曲线方程，则为曲线上的切点：
(2)求出函数y＝f(x)在点处的导数f′()；
(3)根据直线点斜式方程，得切线方程：y－＝f′()(x－)．
2．利用导数的几何意义求曲线外一点的切线
(1)验证所给点(，)不适合曲线方程，则为曲线外一点；
(2)设曲线上的切点为(，)；
(3)通过切点在曲线上建立一个方程
(4)利用切线斜率等于曲线切点的导数值建立第二个方程；
(5)求得切点为(，)，得到导数值即直线的斜率；
(6)利用点斜式写出直线方程.
三、典例导析
题型一 求曲线上点的切线方程
例1 已知曲线y＝上一点P(1,2)，用导数的定义求在点P处的切线的倾斜角和切线方程．
思路导析：由题意可知，给出的点在曲线上，故为切点；则求出曲线在该点处的导数即为切线的斜率，再由点斜式求出直线方程．
解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝－.
∴＝＝＝，
k=
∴tanα＝1，∴α＝45°.
即在P点处的切线的倾斜角等于45°，在点P处的切线方程为y－2＝x－1，即x－y＋1＝0.
归纳总结：求曲线上一点的切线时直接利用导数的定义求得此点处的导数值即为切线的斜率，再利用点斜式即可求得切线方程．
变式训练：已知曲线y＝x3上一点P(2，)，求点P处的切线的斜率及切线方程．
题型2 求曲线的切点问题
例2 在曲线y＝x2上取一点P，使得在该点处的切线．(1)平行于某某4x－y－7＝0；(2)垂直于某某y＝+2；（3）切线的倾斜角为135°。
思路导析：先求导函数f′(x)并设切点为P(，)，由导数的几何意义知切点(，)处的切线的斜率为f′()，然后根据题意列方程解关于的方程即可求出，又点(，)在曲线y＝x2上，代入求就可得出答案．
解析：设y=f(x),则==2x。
设P(，)为满足条件的点，则
(1)因为切线与直线4x－y－7＝0平行，所以2＝4，解得＝2，故＝4，即P(2,4)．
(2)因为切线与直线y＝+2垂直，所以2×＝－1，得＝－，故，即P(－，)．
(3)因为切线的倾斜角为135°，所以其斜率为－1，即2＝－1，得＝－，故＝，即P(－，)．
规律总结：解此类题的步骤为：①先设切点坐标(，)；②求导函数f′(x)；③求切线的斜率f′()；④由斜率间的关系列出关于的方程，解方程求；⑤由于点(，)在曲线y＝f(x)上，将代入求，得切点坐标．
变式训练：已知直线l：y＝4x＋a和曲线y＝x3－2x2＋3相切．求切点的坐标及a的值．
题型3 求曲线外一点的切线
例3 求曲线y＝x3－2x过点(1，－1)的切线方程．
思路导析：验证可知，点(1，－1)不在曲线上，故应先设出切点坐标 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 A
5．解：由于点(1,2)在抛物线y＝x2＋bx＋c上，
∴2＝1＋b＋c，即b＋c＝1①
∵抛物线与直线y＝x－2的平行直线相切于点(1,2)，∴f′(1)＝1，
而f′(1)＝ ＝ ＝ (Δx＋2＋b)＝2＋b.
∴2＋b＝1②
由①②可得b＝－1，c＝2.
6．解析：设切点为(x0，y0)，则y0＝x＋x0＋1①
f′(x0)＝ ＝
＝ ＝ (Δx＋2x0＋1)＝2x0＋1. ∴＝2x0＋1②
由①②解得或
∴(0,1)，(－2,3)是抛物线上的点．
∴过(0,1)的切线方程为y－1＝x，即x－y＋1＝0.
过(－2,3)的切线方程为，即.
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