高等数学作业（上）.9.(wang)第一章答案
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第一章 函数与极限
第一节 映射与函数
一、求下列函数的自然定义域：
(1);
解 由3?x(0且x(0得函数的定义域D?(?(??0)((0??3).?
(2) y?ln(x(1);
解 由x(1(0得函数的定义域D?(?1??(().?
(3).
解 由x(0得函数的定义域D?(?(??0)((0??(().?
二、 下列函数中哪些是偶函数? 哪些是奇函数? 哪些既非奇函数又非偶函数？
(1);
解 (1)因为??所以f(x)是偶函数.?
(2)y?x(x?1)(x?1)?
解 (2)因为f(?x)?(?x)(?x?1)(?x(1)??x(x(1)(x?1)??f(x)??所以f(x)是奇函数.?
(3).
解 (3)因为??所以f(x)是偶函数.?
三、设f(x)的定义域D?[0? 1]??求下列各函数的定义域??
(1) f(x2)??
解 (1)由0(x2(1得|x|(1??所以函数f(x2)的定义域为[?1??1].?
?(2) f(sinx)?
解(2)由0(sin x(1得2n?(x((2n(1)? (n?0??(1??(2(?(?()??所以函数f(sin x)的定义域为
[2n???(2n(1)?? (n?0??(1??(2(?(?() .?
四、设??g(x)?ex ? 求f[g(x)]和g[f(x)]? 并作出这两个函数的图形.
解 ??即.?
??即.?
第二节 数列的极限
计算下列极限：
(1) ； (2) ；
(3) 设求.
第三节 函数的极限
一、.讨论当时，函数是否有极限。
解：因为，，所以 不存在。
二、 求函数当时的左右极限，并说明是否存在。
解：(1) 因为，，
函数当时的左右极限不相等，所以 不存在。
三、对下图示中的函数，求下列极限，如果极限不存在说明理由。
第三题图示
第四节 无穷小与无穷大
一、两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之.
解 不一定. 例如, 当x(0时, ((x)(2x, ((x)(3x都是无穷小, 但, 不是无穷小.
二、求下列极限并说明理由
(1)
(1)因为, 而当x(( 时是无穷小, 所以.
(2)
(2)因为(x(1), 而当x(0时x为无穷小, 所以
第五节 极限运算法则
一、计算下列极限:
(1 )
(1)解 .
(2)
(2) 解 .
(3)
(3)解 .
(4)
(4)解 .
(5)
(5)解 .
(6)
(6)解 .
(7)
(7)解 .
(8)
(8)解
(9)
(9)解 因为, 所以.
(10 )
(10 )解 (因为分子次数高于分母次数). ?
(11)
(11)解 (当x(0时, x2是无穷小, 而是有界变量).
(12)
(12) 解 (当x((时, 是无穷小, 而arctan x是有界变量).
第六节 极限存在准则 两个重要极限
一、计算下列极限
(1);
(1)解 .
(2);
(2)解 .
(3);
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解： .
在分段点x((1处, 因为, , 所以x((1为函数的第一类不可去间断点.
在分段点x(1处, 因为, , 所以x(1为函数的第一类不可去间断点.
六、证明题
1.证明方程至少有一个小于2的正根。
设，在[0，2]上连续；
由零点定理可知，至少存在一点使
即为方程的实根。
所以，方程至少有一个小于2的正根。
2.证明方程至少有一个小于1的正根。
设，在[0，1]上连续；
由零点定理可知，至少存在一点使
即为方程的实根。
所以，方程至少有一个小于1的正根。
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