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2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国I卷）

理科数学

一、选择题（本大题共12小题，共60分）

1.已知集合
，
，则
（ ）

A.

B.

C.

D.

2.设复数
满足
，
在复平面内对应的点为
，则（ ）

A.

B.

C.

D.

3.已知
，
，
，则（ ）

A.

B.

C.

D.

4.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是
（
称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是
.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为
，头顶至脖子下端的长度为
，则其身高可能是（ ）

A.

B.

C.

D.

函数
在
的图像大致为（ ）

A.

B.

C.

D.

6.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳某某“
”和阴爻“
”，下图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有
个阳某某的概率是（ ）

A.

B.

C.

D.

已知非零向量
满足
，且
，则
与
的夹角为（ ）

A.

B.

C.

D.

8.右图是求
的程序框图，图中空白框中应填入（ ）

A.

B.

C.

D.

9.记
为等差数列
的前
项某某.已知
，
，则（ ）

A.
B.
C.
D.

10.已知椭圆
的焦点为
，
，过
的直线与
交于
，
两点.若
，
，则
的方程为（ ）

A.

B.

C.

D.

关于函数
有下述四个结论：

①
是偶函数 ②
在区间
单调递增

③
在
有4个零点 ④
的最大值为

其中所有正确结论的编号是（ ）

A.①②④

B.②④

C.①④

D.①③

已知三棱锥
的四个顶点在球
的球面上，
，
是边长为
的正三角形，
分别是
，
的中点，
，则球
的体积为（ ）

A.

B.

C.

D.

二、填空题（本大题共4小题，共20分）

13.曲线
在点
处的切线方程为 .

14.记
为等比数列
的前
项某某，若
，
，则
.

15.甲乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该对获胜，决赛结束）根据前期的比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”设甲队主场取胜的概率为
，客场取胜的概率为
，且各场比赛相互独立，则甲队以
获胜的概率是

.

16.已知双曲线C:
的左、右焦点分别为
，过
的直线与
的

两条渐近线分别交于
两点.若
，则
的离心率为 .

三、解答题（本大题共5小题，共60分）

17.
的内角
的对边分别为
.设
.

求
；

若
，求
.

18.如图，直四棱柱
的底面是菱形，
，

分别是
的中点.

证明：
平面
；

求二面角
的正弦值.

19.已知抛物线
的焦点为
，斜率为
的直线
与
的交点为
，
，与
轴的交点为
.

若
，求
的方程；

若
，求
.

20.已知函 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ，则
，

再把后面三个式子相加，得
，

则
．

表示“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白某某4只，且甲药的累计得分为4”，因为
，
，
，则实验结果中“甲药治愈的白鼠比乙药治愈的白某某4只，且甲药的累计得分为4”这种情况的概率是非常小的，而
的确非常小，说明这种实验方案是合理的．

22.答案：略

解答：

(1)曲线
:由题意得
即
，则
，然后代入即可得到

而直线
：将
代入即可得到

将曲线
化成参数方程形式为

则

所以当
时，最小值为

23.答案：见解析：

解答：

，
.

由基本不等式可得：
，

于是得到
.

由基本不等式得到：
，

，
.

于是得到

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