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浸入边界法的产生，发展和逐步完善为解决外形复杂的结构在流场中运动的模拟、流固耦合和运动边界问题提供了新的途径

1 绪论

对于复杂流场、流固耦合和运动边界问题，常用的两种处理方法是:基于坐标变换和网格映射技术的有限差分法和基于非结构网格的有限体积法。有限差分法需要寻找适合的高精度变换矩阵计算方法进行坐标变换和网格映射，因此即便是生成一个高质量正交性好的网格都需要耗费大量的时间进行迭代运算。而随着人们所需处理问题复杂程度的不断提高，生成理想的结构化网格系统变得异常困难。对于复杂的几何体，采用非结构网格是可行的方法，然而非结构网格的质量会随着几何体的复杂程度而明显下降，从而导致模拟失真。

针对上述问题，目前不同研究领域都已提出相应的计算方法。浸入边界法因其具有良好的发展前景，成为新的研究热点。为了模拟血液在可收缩的心脏瓣膜中流动，Charles Peskin [1]在1972 年提出了浸入边界法思想，即通过将复杂结构的边界模化成Navier-Stokes动量方程的力源项，当这些力加在特定的一些网格点上时，可以成功的模拟出任意形状的结构边界。

浸入边界法(Immersed Boundary Method)，既是一种数学建模方法，又是一种数值离散方法。在数学方法上，它是采用欧拉变量去描述流体的动态，利用拉格朗日变量描述结构的运动边界，用光滑Delta近似函数通过分布节点力和插值速度来表示流场和结构 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 用来描述流场和弹性体的交互作用。

3 浸没边界与LBM

根据Chapman-Enskog展开，上述N-S方程对应的格子方程为（以D2Q9为例）

（4）

（5）

（6）

当然上述式子中的
与
的关系式还有其他多种表示方式。下面我们主要介绍怎样把边界模化为力项，主要工作是针对（3），（4）的离散，目前已有多种方法，先对（3）进行离散，可得如下式子

（7）

是Euler点，
是Lagrange点，
是边界上的弧长，而
是二维的Dirac函数的逼近函数，定义如下

问题的关键在于如何确XX界上的力密度
，目前发展了一系列方法

反弹法

反弹的办法是先对Lagrange点的粒子分布函数进行双线性插值，即先算出

可得到边界上新的分布函数

与
是相反方向的分布函数，
是边界的移动速度，我们可以算的流体对边界的作用

那么，边界对流体的作用力即为

直接力

直接力的着眼点是公式（6），在边界上有

其中
可一看做没有力作用时速度
，也可以通过插值的方式得到
的值，这样也可得到一个力的表达形式

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