与球有关的截面问题
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与球有关的截面问题
【典例精讲】
[典例1] 已知三棱锥P-ABC的棱AP，AB，AC两两垂直，且长度都为，以顶点P为球心，2为半径作一个球，则球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧的长度之和等于( )
A．3π B.
C. D.
[解析] 如图所示，由题意知Rt△PAC，Rt△PAB为等腰直角三角形，且AP＝AB＝AC＝.
以顶点P为球心，2为半径作一个球，设球P与Rt△PAC的边PC，AC分别交于点M，N，与AB，PB分别交于点H，G，
易得cos∠APN＝，所以∠APN＝，AN＝AP·tan＝1，
所以∠NPM＝，所以弧MN的长l＝×2＝.
同理l＝，易知AH＝AN＝1，则l＝×1＝.
又易知弧GM的长是以顶点P为圆心，2为半径的圆的周长的，
所以l＝＝，
所以球面与三棱锥的表面相交所得到的四段弧的长度之和等于＋＋＋＝＝.故选B.
[答案] B
[小结] 求解本题的难点在于准确确定球与各个面的交线，依据球的几何特征确定球面与四棱锥各个面的交线后，准确求出弧所在圆的半径和弧所对圆心角即可，考查了直观想象这一核心素养．
[典例2](2020·新高考全国卷Ⅰ)已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2，∠B 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 所以R＝4，故选B.
2．在三棱锥P-ABC中，PA⊥底面ABC，AB⊥AC，AB＝6，AC＝8，D是线段AC上一点，且AD＝3DC.三棱锥P-ABC的各个顶点都在球O的表面上，过点D作球O的截面，若所得截面圆的面积的最大值与最小值之差为16π，则球O的表面积为( )
A．72π B．86π
C．112π D．128π
解析：选C
将三棱锥P-ABC补成直三棱柱，
如图所示，则三棱锥P-ABC和该直三棱柱的外接球都是球O，
设三角形ABC的中心为O1，球O的半径为R，PA＝2x，
连某某OO1，则球心O到平面ABC的距离为x，即OO1＝x，
连某某O1A，OA，则O1A＝5，
所以OA2＝OO＋O1A2，即R2＝x2＋25.
在△ABC中，取AC的中点E，连某某O1D，O1E，则O1E＝AB＝3，O1E∥AB，DE＝AC＝2，所以O1D＝.连某某OD，
在Rt△OO1D中，OD＝，由题意得，当截面与直线OD垂直时，截面圆面积最小，设此时截面圆的半径为r，则r2＝R2－OD2＝x2＋25－(x2＋13)＝12，所以截面圆的最小面积为12π，当截面过球心O时，截面圆面积最大，为πR2，所以πR2－12π＝16π，R2＝28，所以球O的表面积为4πR2＝112π.
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