-学年度高中数学期末考试卷-c7261fb4874b4a8a82a78a***b0d
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一、解答题
1．设函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若有一个不大于0的零点，证明：所有的零点都不大于1．
2．已知函数，且曲线在点处的切线与直线平行．
（1）求实数k的值并判断的单调性；
（2）记，若，且当时，不等式恒成立，求的最大值．
3．已知函数．
（1）讨论的单调性．
（2）设，若恒成立，求a的取值范围．
4．已知函数，，，令．
（1）当时，求函数的单调区间及极值；
（2）若关于的不等式恒成立，求整数的最小值．
参考答案
1．解：（1），
当时，令，得；，得；
所以在单调递增，在单调递减；
当时，令，得或；，得；
所以在和单调递增，在单调递减；
当时，恒成立，所以在R上单调递增；
当时，令，得或；，得；
所以在和单调递增，在单调递减；
（2）时， ，，
由（1）知在和单调递增，在单调递减，
，，，
因为有一个不大于0的零点，且时，，
所以，
若，，，所以只有两个零点0,1，满足所有的零点都不大于1；
若，，
当，即时，只有2个零点，一个零点在上，一个零点为，且，满足所有的零点都不大于1；
当，即时，只有一个 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ，
综上可知，实数a的取值范围．
【点睛】
对于利用导数研究不等式的恒成立与有解问题的求解策略：
1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；
2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．
3、根据恒成立或有解求解参数的取值时，一般涉及分离参数法，但压轴试题中很少碰到分离参数后构造的新函数能直接求出最值点的情况，进行求解，若参变分离不易求解问题，就要考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别．
4．解：（1）当时，，所以．
令得．
由得，所以的单调递增区间为．
由得，所以的单调递减区间为．
所以的极大值为，即，无极小值．
（2）令，
所以，
当时，因为，所以，所以在上是增函数，
又因为，
所以关于的不等式不能恒成立．
当时，．
令，得，所以当时，；
当时，，
因此函数在上是增函数，在上是减函数．
故函数的最大值为．
令，因为，，
且在上是减函数，所以当时，．
所以整数的最小值为．
【点睛】
对于不等式恒成立问题，常用到以下两个结论：
(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)max；
(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min.
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