第二讲 函数配套习题及答案
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第二讲 配套习题及答案
1.若效用函数现为：
（）
其他条件与实例中给出的相同，试分别求分散经济与计划经济的最优解。
计划者目标函数为：
代约束条件进目标函数，可以得到无约束的最大化问题：
一阶条件为：
求解可得：
代进生产函数可得：
企业利润函数为：
企业利润最大化的一阶条件为：
利用这两个一阶条件可以取得均衡的价格解，为：
2.假设行为人的效用函数如下：，其中是行为人的消费，是行为人每天用于闲暇的时间。行为人每天的时间除了用于闲暇，就是用于工作，但他既可以为自己工作也可以为别人工作。他为自己工作时的产出函数为，其中为用于自己工作的时间。如果他为别人工作，每小时得到的报酬是工资，记为（当然是用消费品衡量的）。试写出该行为人的最优化问题，并求解之。
代约束条件进目标函数，分别对和两个变量求一阶导数，并令其为零，有：
求解上述联立方程，可得：
3.考虑一个具有如下代表性行为人的模型。代表性消费者的效用函数如下：
其中，是消费，是闲暇，且。消费者拥有一单位的时间禀赋和单位的资本。代表性企业生产消费品的技术由如下的生产函数来表示：
其中，是产出，A是全要素生产率，是资本投入，是劳动投入，且。记为市场的实际工资，为资本的租金率。
a.试求解实现竞争均衡时的所有价格和数量。
b.试分析全要素生产率A的一个变化会对消费、产出、就业、实际工资以及资本租金率产生怎样的影响。
解：a.第一步，分析消费者行为：
代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题。
对求一阶导数，并令其为零，可得：
第二步，分析企业的行为：
根据市场出清条件，可得如下方程组：
求解得：
第三步，全部均衡解：
或者，考虑计划经济情形：
代约束条件进目标函数，可转化为无约束的最大化问题：
对求一阶导数，并令其为零，可得：
解得：
b.
说明：闲暇将随技术进步而减少，因而就业将随技术进步而增加；产出、消费和资本租金率将随技术进步而上升；实际工资不会随技术进步的变化而变化。
4.考虑一个如下的含有政府的代表性行为人的经济。消费者的偏好由如下的效用函数代表：
这里，是消费；是闲暇；是政府购买；。消费者拥有一单位的时间禀赋。私人消费品的生产技术如下：
这里，是产出，是劳动投入，。假设政府通过向消费者征收一个总额税来为自己的购买融资。
（1）对于一个给定的，试求均衡时的消费、产出和就业。证明这些均衡数量是帕累托最优的。
（2）试分析当政府购买发生变化时，这些均衡数量会受到怎样的影响。平衡预算乘数时大于1还是小于1，解释之。
（3）现在假设政府是一个“仁慈”的政府，它将选择一个最优的。也就是说，政府将选择一个合适的去最大化代表性行为人的福利。试求解最优水平的政府购买数量。
解：
（1）在给定时，消费者的最优规划问题可以表述如下：
代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题：
该最大化问题的一阶条件为：
利用这一一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数：
利用闲暇的需求函数，再加上消费者的时间约束和预算约束，我们可以进一步求得消费者的劳动供给和消费需求函数：
，
可以注意到，闲暇和消费都是都是随总额税的增加而减少的，这确保在我们假设的效用函数下，这两种商品都是正常商品。也可以注意到，闲暇和消费都随的增加而增加，这意味着在我们的模型中，相对于收入效应而言，替代效应是占主导地位的。
从企业的利润最大化问题中，我们能得到：
竞争均衡的定义要求政府的预算要平衡：
代这些表达式进入消费者的闲暇和消费需求函数中，可以得到如下的竞争均衡数量：
， ，
注意，当我们把消费者的时间预算代进其预算约束的时候，我们已经运用了劳动市场的出清条件，。利用或者商品市场出清条件，，或者生产函数，，并与上述均衡数量相结合，可以求得均衡产量：
给定时，我们可以借助如下的社会计划者最优问题来求得帕累托最优的均衡数量：
代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题：
该最大化问题的一阶条件为：
利用该一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数：
利用闲暇的需求函数，再加上消费者的时间约束、生产函数和资源约束，我们可以进一步求得如下的均衡数量：
，，
因为这些解与上面我们已经推导出来的竞争均衡数量是相同的，因此，竞争均衡分配是帕累托最优的分配。在这一例子中，之所以两者的结果相同是因为总额税并不会产生扭曲效应。
（2）因为在题（1）中我们已经求得均衡数量解，因而，我们之需要简单地让这些均衡解对求全导数，就可以得到结论：
可以注意到，平衡预算乘数是小于1的。因为，，所以，。（回忆：政府预算约束必须成立，因而，的任何一个变化一定对应着的一个相同变化：。因此，我们有“平衡预算乘数”这一名词。）也可以注意到，挤出是不完全的：因为，所以。
（3）为了确定最优水平的政府购买数量，政府在给定行为人对变化的最优反应的基础上通过选择一个合适的来最大化代表性行为人的福利。我们可以把在题（1）中求得的行为人的决策规则看成是一个的函数：和。这些函数告诉我们行为人的最优选择和是如何随着的变化而变化的。政府的最优化问题可以描述如下：
或者，等价地：
一阶条件如下：
或者
（1）
注意，方程（1）的左边代表的是政府购买的边际成本。这些成本是借助纯财富效应通过减少消费和闲暇的形式实现的。方程（1）的右边代表的是政府购买的边际收益。因此，最优的平衡着政府购买的边际收益和边际成本。注意到边际成本随着的增加而增加，而边际收益则随着的增加而减少。求解（1）式可以得到最优的政府购买水平：
（2）
5.考虑一个具有和题1相同的偏好和生产技术的代表性行为人经济。假设现在政府通过向消费者的劳动收入征收比例税来为自己的购买进行融资。让代表税率，因而政府的总税收收入等于，这里，是实际工资。
（1）写出政府的预算约束。
（2）对于给定的，试求竞争均衡中的消费、产出和就业。讨论这一均衡是否是帕累托最优均衡。
（3）证明竞争均衡的最优数量将随着的变化而变化。
（4）求解实现福利最大化的政府购买的水平。这里的答案为什么与在题1中征总额税时的答案不同？请解释之。
解：
（1）政府的预算约束是政府购买等于税收收入：
（2）由于税收扭曲的存在，我们不能用社会计划者的最优问题去求解竞争均衡。在给定时，消费者的最优规划问题可描述如下：
代约束条件进目标函数，可以转化为无约束的极值问题：
该最大化问题的一阶条件为：
利用该一阶条件，可以求得消费者的闲暇需求函数：
可以注意到该表达式与税后实际工资无关。在这种情形下，替代效应在数值上等于收入效应，因此正好相互抵消。代闲暇的需求函数进预算约束方程，我们可以进一步求得消费者的消费需求函数：
可以注意到消费与税后收入成正比关系。因此，消费将随税率的提高而下降。从企业的最大化问题中，我们可以得到：
市场出清条件是：
因此，竞争均衡的数量解将由如下的表达式给出：
，，，
我们在第一题的（1）部分已经求得帕累托最优的数量解。通过对比，可以发现只有在时两个解才一致。只要，竞争均衡分配将总是次优的。
（3），，
注意，在这种情况下，挤出效应是完全的：。
（4）政府的最优化问题能描述如下：
这里，和代表了竞争均衡的数量（我们已经在（2）中求得）。代入和的表达式，可以得到政府的最优化问题：
或者，更简洁地：
一阶条件如下：
（3）
再一次，可以注意到，方程（3）的左边代表的是政府购买的边际成本。方程（3）的右边代表的是政府购买的边际收益。求解（3）式可以得到最优的政府购买水平：
（4）
比较表达式（4）和第一题中的表达式（2），我们可以看到在目前的情形下，政府的购买水平更小（因为）。也就是说，最优水平的在征总额税时要比在征比例税时来得大。因为，在征比例税时，税收将对劳动供给和消费需求产生一个扭曲效应。而这些额外的成本是伴随着政府的行为而产生的，因此，自然会下降。比较（1）和（3）式可以发现，在给定时，在征比例税时，政府活动的边际成本更大，而边际收益两者却是一样的。
第三讲 配套习题及答案
1.在我们的讲义的实例中曾描述了一个两期模型，现在，若在这个两期模型中的期效用函数成为：
（1）.试推导出欧拉方程。
（2）.试求代表性消费者的最优消费组合。
（3）.试求均衡的利率。
（1）欧拉方程为
因为，所以，因而有：
（2）我们有三个未知数，但相应的也有三个方程，一个是欧拉方程，另两个就是约束条件。
求解得：
（3）在均衡时，，因此：
2.假设玛丽只生活两期。在每一期里她都可以不劳而获地得到一些消费品：第一期记为；第二期记为。她对两期消费品的偏好可由如下的效用函数来表达：，其中，和分别是她在第一期和第二期的消费；是一个间于0和1之间的参数，表示的是时间偏好。当然，如果玛丽觉得第一期的禀赋，也即太多，她是可以把它储蓄起来，以供第二期消费的。我们把她储蓄的数量记为。非常不幸，老鼠会偷吃她储蓄的物品，因此，假如她在第一期储蓄单位的物品，在第二期她只能得到单位，其中，是一个间于0和1之间的参数。
.试写出玛丽的最优化问题。（你应该描述出她的选择变量、目标函数和约束条件。）
b.试求解最优化问题的解。（当然，你应给把诸如、、、等参数看作外生给定的。）
c.假如玛丽现在发现了一种可以减少老鼠偷吃的方法，这会对她的最优选择产生怎样的影响？（无非是对的变化作一个比较静态分析!）
a.
b.构建拉格朗日函数：
一阶条件为：
利用三个一阶条件可求得欧拉方程：
结合约束方程，可求得：
c.分别对求导数，可得：
因为玛丽学会了防止老鼠偷吃的技术，因此，将下降。根据偏导数的符号，我们可以判断：第一期的消费将减少，而第二期的消费和第一期的储蓄都将增加。
3.在讲义中，我们假设行为人在初始时拥有外生给定的资本，并且这些资本是不能直接用于消费的。现在如果我们取消资本不能直接用于消费这一强制性规定（这样，第一期的收入就不需要自己去生产了）。效用函数与生产函数的具体形式仍与讲义中的相同，试求每一期的均衡数量解和价格解。
解：考虑计划经济的情形
如果，，可解得：
企业利润函数为：
假设企业利润最大化的一阶条件为：
利用这一条件，可求得：
考虑如下这样一个两期问题：行为人在第一期和第二期分别得到外生收入和，行为人需要选择一个最优的消费组合来实现自己的效用最大化。我们假设期效用函数是一阶导数大于零二阶导数小于零的，并记利率为。
a.以现值的形式写出行为人的跨期预算约束条件。
b.现在假设政府以t的税率对利息收入征税。当然，我们也假定，如果你是债务人，当你在向债权人支付利息时，政府也会安相同的比率对你的利息支出进行补偿。现在写出新情形的现值跨期预算约束条件。
c.假设在最优的情况下，行为人是一个储蓄者而不是一个借贷者，也即。请计算政府在每一期的税收收入。
d.现在假设政府取消了对利息征税，转而决定对每一期都征收一个固定数量的总额税，分别记为和：
ⅰ.写出行为人新的预算约束条件。
ⅱ.为了维持政府税收收入的现值不变，新的总额税应该满足怎样的条件？
ⅲ.假如新总额税满足了（ⅱ）中的条件，行为人在新的情况形下还能承担原先的消费组合吗？
ⅳ.假如新总额税满足了（ⅱ）中的条件，行为人在第一期的消费是上升的、下降的、还是不变的？
a.行为人的预算约束为：
b.行为人新的预算约束为：
c.政府两期的总税收收入为：
d.ⅰ.行为人新的预算约束为：
ⅱ.政府在征总额税以后，其税收的现值收入为：
要保证政府税收的现值收入不变，要求下式成立，即：
ⅲ.假如（ⅱ）中所给出的条件成立，意味着在两种税收体制下，行为人的收入现值是相同的，因此，老的消费组合在新的税收制度下一定是消费的起得。
ⅳ.假如（ⅱ）中所给出的条件成立，行为人第一期得消费将减少，因为，在新的税收制度下，第二期的价格为，要比在老的税收制度下的价格更低，因此，行为人会减少第一期的消费而增加第二期的消费。
3.考虑一个仅生活两期的代表性行为人。在第一期行为人参加工作并可获得w的工资收入，在第二期行为人退休并以自己在第一期的储蓄为生。行为人一生的效用为，其中期效用函数是递增且严格凹的，分别表示行为人在第一期和第二期的消费数量。假定行为人在第一期的储蓄（记为s）可以获得的报酬率，也即利率为r。
（1）写出行为人的最优化问题（目标函数和约束条件）
（2）推导出行为人实现效用最大化时的一阶条件，并用储蓄s表达出来。
（3）根据题（2）的结果，推导出的表达式。从中你可以判断出工资收入变动会对储蓄产生怎样的影响？对你的结论给出一个简单的经济解释。
（4）根据题（2）的结果，推导出的表达式。从中你可以判断出利率变动会对储蓄产生怎样的影响？请试着推导该偏导数的符号与跨期替代弹性（我们定义为）之间的关系。
2.（1）
（2）代约束条件进目标函数，消掉变量和，对另一变量求一阶导数并令其为零，可得：
或者
（2）式中的一阶条件实际上以隐函数的形式给出了变量的之间的关系，我们把这个隐函数记为：
利用隐函数求导定理，有
由偏导数的值域可知，当工资收入上升时，行为人的储蓄也会随之增加。
（4）利用隐含数求导法则，可以得到：
＝
＝
该符号不确定，依赖于跨期替代弹性的大小。当时，；当时，；当时，。
第五讲 配套习题及答案
1.考虑一个有如下效用函数的生活无限期的行为人：
假定该行为人不拥有任何初始资产（）。该行为人可以进入一个资本市场，在这里，他（她）可以以固定的利率借入或借出收入。假设行为人在每一期的收入固定等于。
（1）写出行为人的最优化问题。确信包含了转换条件。
（2）试用拉格朗日和动态规划两种方法推导出行为人的欧拉方程。
（3）用行为人的欧拉方程和跨期预算约束条件求出她的最优消费路径。
（4）比较行为人的最优消费路径和收入路径，并解释他们的差异。
解：
（1）行为人的最优化问题可描述如下：
（2）用拉格朗日方法推导跨期欧拉方程，我们首先需要求出如下最大化问题的一阶条件：
这里，是时期t预算约束的拉格朗日乘子。对于所有的，关于的一阶条件分别如下：
利用前两个一阶条件，可以得到跨期欧拉方程：
用动态规划的方法求解，我们首先需要用递规的形式构建出行为人的最优化问题：
或
对应于该值函数右边最大化问题的一阶条件为：
贝尔曼方程两边同时对求导并应用包洛定理，有：
利用上式替代掉一阶条件中的，可以得到跨期欧拉方程：
（3）以如下的方式表述欧拉方程：
我们可以看到，给定，这最优的消费路径由如下形式给出：
或者，更简洁地表示为：
现在，我们需要从跨期预算约束中决定出。应用转换条件、初始资本 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 是假定成立的），那么，是进行私人的储蓄还是把资金投放进基金帐户，对行为人来说是无差异的，因此，当政府引进基金制社会保障制度以后，行为人无非就是把原先就要进行的私人储蓄转移一部分进基金帐户中。因此，社会的总储蓄不会因为这种保障制度的引进而发生变化。这样的话，如果这个经济原先是动态无效的，那么，引入基金制以后仍旧还将是动态无效的。
在现收现付制度下，因为政府从年轻人身上征收来的贡献并不是用于投资的，而是直接转移给当期的老年人的，社会资本积累的惟一来源是私人储蓄，因此，现收现付制度的引入，会减少私人的储蓄进而减少社会的资本积累。因此，如果一个经济是动态无效的，在引入现收现付制以后，将会使这个经济的资本存量在长期中更靠近黄金资本存量。
c.在新古典增长模型中，经济出现动态无效是不可能的。因为在新古典增长模型中，平增长路径上的资本存量只能低于黄金资本存量而不能高于它。
出现这一结果也不奇怪，因为第一福利定理告诉我们：假如市场是完全的、竞争的，并且没有外部性，那么，分散经济的最优解是帕雷托最优的。我们知道，在新古典增长模型中，第一福利定理的这些条件是满足的，因此，一定不会出现动态无效的情况。
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