09-16大学生数学竞赛真题(非数学类)
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2009年 第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、填空题（每小题5分，共20分）
1．计算____________，其中区域由直线与两坐标轴所围成三角形区域.
2．设是连续函数，且满足, 则____________.
3．曲某某平行平面的切平面方程是__________.
4．设函数由方程确定，其中具有二阶导数，且，则________________.
（5分）求极限，其中是给定的正整数.
三、（15分）设函数连续，，且，为常数，求并讨论在处的连续性.
四、（15分）已知平面区域，为的正向边界，试证：
（1）；
（2）.
五、（10分）已知，，是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.
（10分）设抛物线过原点.当时,,又已知该抛物线与轴及直线所围图形的面积为.试确定,使此图形绕轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.
七、（15分）已知满足, 且, 求函数项级数之和.
八、（10分）求时, 与等价的无穷大量.
2010年 第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、（25分，每小题5分）
（1）设其中求
（2）求。
（3）设，求。
（4）设函数有二阶连续导数，，求。
（5）求直线与直线的距离。
二、（15分）设函数在上具有二阶导数，并且
且存在一点，使得。
（15分）设函数由参数方程所确定，其中具有二阶导数，曲线与在出相切，求函数。
四、（15分）设证明：
（1）当时，级数收敛；
（2）当且时，级数发散。
五、（15分）设是过原点、方向为，（其中的直线，均匀椭球
，其中（密度为1）绕旋转。
（1）求其转动惯量；
（2）求其转动惯量关于方向的最大值和最小值。
六、(15分)设函数具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线上，曲线积分的值为常数。
（1）设为正向闭曲线证明
（2）求函数；
（3）设是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求。
2011年 第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷
计算下列各题（本题共3小题，每小题各5分，共15分）
（1）.求；
（2）.求；
（3）已知，求。
二．（本题10分）求方程的通解。
三．（本题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且均不为0，证明：存在唯一一组实数，使得。
四．（本题17分）设，其中，，为与的交线，求椭球面在上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值。
五．（本题16分）已知S是空间曲线绕y轴旋转形成的椭球面的上半部分（）取上侧，是S在点处的切平面，是原点到切平面的距离，表示S的正法向的方向余弦。计算：
（1）；（2）
六．（本题12分）设f(x)是在内的可微函数，且，其中，任取实数，定义证明：绝对收敛。
七．（本题15分）是否存在区间上的连续可微函数f(x)，满足，
？请说明理由。
2012年 第四届全国大学生数学竞赛预赛试卷
一、（本大题共5小题，每小题6分共30分）解答下列个体（要求写出要求写出重要步骤）
(1) 求极限
(2) 求通过直线的两个互相垂直的平面和，使其中一个平面过点。
(3) 已知函数，且。确定 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 .
若，存在，求极限.
3、设有连续导数，且，记，若，求在的表达式.
设，求，.
求曲某某平行于平面的切平面方程.
二、（14分）设在上可导，，且当，，
试证当，.
（14分）某物体所在的空间区域为，密度函数为，求质量.
四、（14分）设函数在闭区间上具有连续导数，，，
证明：.
（14分）设函数在闭区间上连续，且，证明：在内存在不同的两点，使得.
设在可导，且.
用Fourier级数理论证明为常数.
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