30道小升初几何问题(答案)

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学习改变命运，思考成就未来! 第2讲 30 道典型几何题解析 1．【加减法求面积】如图是一个直径为 3cm 的半圆，让这个半圆以 A 点为轴沿逆时针方向旋转 60鸢，此时 B 点移动到 B ' 点，求阴影部分的面积．(图中长度单位为 cm ，圆周率按 3 计算)． B' 60鸢 A B 【解析】面积 ? 圆心角为 60鸢的扇形面积 ? 半圆 ? 空白部分面积(也是半圆) ? 圆心角为 60鸢的扇形面积 ? 60 鸫 π 鸫 32 ? 3 π ? 4.5(cm2 ) ． 360 2 2．【割补法求面积】求下列各图中阴影部分的面积(图中长度单位为 cm ，圆周率按 3 计算)： 3 ⑴ 4 ⑵ 1 2 1 ⑶ 1 ⑷ 【解析】⑴ 4.5 ⑵ 4 ⑶1 ⑷ 2 3．【差不变】三角形 ABC 是直角三角形，阴影 I 的面积比阴影 II 的面积小 25cm2 ， AB ? 8cm ，求 BC 的长度． A I II B C 1 学习改变命运，思考成就未来! 第2讲【解析】由于阴影 I 的面积比阴影 II 的面积小 25cm2 ，根据差不变原理，直角三角形 ABC 面积减去半圆面积为 25cm2 ，则直角三角形 ABC 面积为 1 2 π 鸫疰痃痂 8 2 瘀2 瘅瘌 ? 25 ? 8π ? 25 ( cm2 )， BC 的长度为 ?8π ? 25? 鸫 2 鸶 8 ? 2π ? 6.25 ?12.53 ( cm )． 4．【等量代换】下图(单位：厘米)是两个相同的直角梯形重叠在一起，求阴影部分的面积. 5 8 20 20－5 8 20 【解析】所求面积等于图中阴影部分的面积，为(20 ? 5 ? 20)鸫8 鸶 2 ?140 (平方某某)． 5．【等面积变形】如下图，长方形 AFEB 和长方形 FDCE 拼成了长方形 ABCD ，长方形 ABCD 的长是 20，宽是 12，则它内部阴影部分的面积是多少? A B F E D C 【解析】根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半，为 1 鸫 20 鸫12 ? 120 ． 2 6．【面积与旋转】如图所示，直角三角形 ABC 的斜边 AB 长为 10 厘米，鹦ABC ? 60鸢，此时 BC 长 5 厘米．以点 B 为中心，将餌ABC 顺时针旋转120鸢，点 A 、 C 分别到达点 E 、 D 的位置．求 AC 边扫过的图形即图中阴影部分的面积．( π 取 3) E E C (1) C (2) A B D A B D 【解析】注意分割、平移、补齐．如图所示，将图形⑴移补到图形⑵的位置， 2 学习改变命运，思考成就未来! 第2讲因为鹦EBD ? 60鸢，那么鹦ABE ?120鸢，则阴影部分为一圆环的 1 ． 3 7．【图形与平移】用同样大小的瓷砖铺一个正方形地面，两条对角线上铺黑色的，其它地方铺白色的，如图所示．如果铺满这块地面共用 101 块黑色瓷砖，那么白色瓷砖用了多少块？图１图2 【解析】我们可以让静止的瓷砖动起来，把对角线上的黑瓷砖，通过平移这种动态的处理，移到两条边上(如图 2)．在这一转化过程中瓷砖的位置发生了变化，但数量没有变，此时白色瓷砖组成一个正方形．大正方形的边某某上能放 (101?1) 鸶 2 ? 51(块)，白色瓷砖组成的正方形的边长上能放： 51?1 ? 50 ( 块 ) ，所以白色瓷砖共用了： 5 0鸫 5 0? 2 5 0(0块)． 8. 【化整为零】正方形 ABCD 与等腰直角三角形 BEF 放在一起（如图），M、N 点为正方形的边的中点，阴影部分的面积是 14cm2，三角形 BEF 的面积是多少平方某某？【解析】因为 M、N 是中点，故我们可以将该图形进行分割，所得图形如下 F A MD N F A MD N B CE B CE 图形中的三角形面积都相等，阴影部分由 7 个三角形组成，且其面积为 14 平方某某，故一个三角形的面积为 2 平方某某，那么三角形 BEF 的面积是 18 平方某某。 9. 【割补法】如图所示的四边形的面积等于多少？ C O 13 13 12 13 13 D 12 12 12 A B 【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形，难以运用公式直接求面积. 我们可以利用旋转的方法对图形实施变换： 3 学习改变命运，思考成就未来! 第2讲把三角形 OAB 绕顶点 O 逆时针旋转，使长为13 的两条边重合，此时三角形 OAB 将旋转到三角形 OCD 的位置.这样，通过旋转后所得到的新图形是一个边某某为12 的正方形，且这个正方形的面积就是原来四边形的面积. 因此，原来四边形的面积为12鸫12 ?144 .(也可以用勾股定理) 10．【巧求周长】下图中的阴影部分 BCGF 是正方形，线段 FH 长18 厘米，线段 AC 长 24 厘米，则长方形 ADHE 的周长是厘米． E F GH A B D C 【解析】本题需要注意，长方形 ADHE 的宽应等于正方形 BCGF 的边某某．由于图中阴影部分 BCGF 是个正方形，其四条边的边某某都相等，且等于长方形 ADHE 的宽． FH ? AC 的和应为长方形 ADHE 的长加上正方形 BCGF 的边某某，所以等于长方形 ADHE 的长与宽之和．所以长方形 ADHE 的周长为： (18 ? 24) 鸫 2 ? 84 厘米． 11．【周长与面积】有 9 个小长方形，它们的长和宽分别相等，用这 9 个小长方形拼成的大长方形的面积是 45 平方某某，求这个大长方形的周长．【解析】从图上可以知道，小长方形的长的 4 倍等于宽的 5 倍，所以长是宽的 5 鸶 4 ? 1.25 倍．每个小长方形的面积为 45 鸶 9 ? 5 平方某某，所以1.25鸫宽鸫宽 ? 5 ，所以宽为 2 厘米，长为 2.5 厘米．大长方形的周长为 (2.5鸫 4 ? 2 ? 2.5) 鸫 2 ? 29 厘米． 12．【梯形蝴蝶】如图， ABCD 与 AEFG 均为正方形，三角形 ABH 的面积为 6 平方厘米，图中阴影部分的面积为． D C D C F E H F E H G A BG A B 【解析】如图，连某某 AF ，比较餌ABF 与餌ADF ，由于 AB ? AD ， FG ? FE ，即餌ABF 与餌ADF 的底与高某某相等，所以餌ABF 与餌ADF 的面积相等，那么阴影部分面积与餌ABH 的面积相等，为 6 平方某某． 13．【曲线开型面积】如右图，有 8 个半径为 1 厘米的小圆，用它们的圆周的一部分连成 4 学习改变命运，思考成就未来! 第2讲一个花瓣图形，图中的黑点是这些圆的圆心．则花瓣图形的面积是多少平方某某？ ( π 取 3) 【解析】本题直接计算不方便，可以利用分割移动凑成规则图形来求解．如右上图，连某某顶角上的 4 个圆心，可得到一个边某某为 4 的正方形．可以看出，与原图相比，正方形的每一条边上都多了一个半圆，所以可以把原花瓣图形的每个角上分割出一个半圆来补在这些地方，这样得到一个正方形，还剩下 4 个 1 圆，合起来恰好是一个圆，所以花瓣图形的面积为 4 42 ? π 鸫12 ? 19 (平方某某)． 14．【曲线型面积】如图，ABCD 是边某某为 a 的正方形，以 AB、BC、CD、DA 分别为直径画半圆，求这四个半圆弧所围成的阴影部分的面积．( π 取 3) A DA D B a C B a C 【解析】这道题目是很常见的面积计算问题．阴影部分是一个花瓣状的不规则图形，不能直接通过面积公式求解，观察发现阴影部分是一个对称图形，我们只需要在阴影部分的对称轴上作两条辅助线就明了了．如图，这样阴影部分就划分成了 4 个半圆减去三角形，我们可以求得， ? ? S阴影 ? 4 鸫 S半圆 ? S三角形 ? 4 鸫痖痍 1 鸫餻痍痣 2 鸫疰痃痂 a 瘀2 2 瘅瘌 ? 1鸫a鸫 2 a瘗瘊 2 瘊瘥 ? 1 a2 2 15．【表面积计算】中是一个边某某为 4 厘米的正方体，分别在前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个边某某 1 厘米的正方体，做成一种玩具．它的表面积是多少平方某某？ 5 学习改变命运，思考成就未来! 第2讲【解析】根据题意可知，挖去的 6 个边某某 1 厘米的正方体相互之间是独立的，所以挖去之后，原正方体的表面积相当于增加了六个小正方体的侧面积，所以现在它的表面积为： 4鸫 4鸫 6 ?1鸫1鸫 4鸫 6 ?120 平方某某． 16．【共高模型】如图，把四边形 ABCD 的各边都延长 2 倍，得到一个新四边形 EFGH 如果 ABCD 的面积是 5 平方某某，则 EFGH 的面积是多少平方某某? 【解析】如下图，连某某 BD，ED，BG，有 EAD、 ADB 同高，所以面积比为底的比，有 S EAD ? EA S AB ABD ? 2S ． ABD 同理 S EAH ? AH AD S EAD ? 3S EAD ? 6S ． ABD 类似的，还可得 S FCG ? 6S ，有 BCD ? ? S EAH ? S FCG ? 6 S ABD ? S BCD ? 6SABCD =30 平方某某．连某某 AC，AF，HC，还可得 S EFB ? 6S ABC ，S DHG ? 6S ， ACD ? ? 有 S EFB ? S DHG ? 6 S ABC ? S ACD ? 6SABCD =30 平方某某. 有四边形 EFGH 的面积为 EAH, FCG, EFB, DHG,ABCD 的面积和，即为 30+30+5=65(平方某某.) 17．【等积变形】图中 ABCD 是个直角梯形(∠DAB=∠ABC=90°)，以 AD 为一边向外作长方形 ADEF，其面积为 6.36 平方某某。连某某 BE 交 AD 于 P，再连某某 PC。则图中阴影部分的面积是( )平方某某。 6 学习改变命运，思考成就未来! F E A PD 第2讲 F E A PD B C B C 【解析】如图,连某某 AE，BD。因为 AD∥BC，则： S△PDC ? S△PDB ,又 AB∥ED，则： S△EAD ? S△EBD ,所以， S阴影 ? S△EPD ? S△PDC ? S△EPD ? S△PDB ? S△EDA ? 1 2 S△ADEF ? 1 鸫 6.36 ? 3.18 （平方某某） 2 18．【一半模型】一个长方形分成 4 个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的 15% ，黄色三角形面积是 21cm2 ．问：长方形的面积是多少平方某某？黄红红绿【解析】黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长，高某某为长方形的宽，所以黄色三角形与绿色三角形的面积和为长方形面积的 50% ，而绿色三角形面积占长方形面积的15% ，所以黄色三角形面积占长方形面积的 50% ?15% ? 35% ．已知黄色三角形面积是 21cm2 ，所以长方形面积等于 21鸶 35% ? 60 （ cm2 ）． 19．【表面积计算】如图，棱长分别为1 厘米、 2 厘米、 3 厘米、 5 厘米的四个正方体紧贴在一起，则所得到的多面体的表面积是多少平方某某？【解析】(法 1)四个正方体的表面积之和为： (12 ? 22 ? 32 ? 52 ) 鸫 6 ? 39鸫 6 ? 234 (平方某某)，重叠部分的面积为： 12 鸫 3 ? (22 鸫 2 ?12 ) ? (32 ? 22 ?12 ) ? (32 ? 22 ?12 ) ? 3 ? 9 ?14 ?14 ? 40 (平方某某)，所以，所得到的多面体的表面积为： 234 ? 40 ?194 (平方某某)． 7 学习改变命运，思考成就未来! 第2讲 (法 2)三视图法．从前后面观察到的面积为 52 ? 32 ? 22 ? 38 平方某某,从左右两个面观察到的面积为 52 ? 32 ? 34 平方某某，从上下能观察到的面积为 52 ? 25 平方某某．表面积为 ?38 ? 34 ? 25? 鸫 2 ?194 (平方某某)． 20．【表面积计算】用棱长是 1 厘米的立方块拼成如右图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方某某? 【解析】该图形的上、左、前三个方向的表面分别由 9、7、7 块正方形组成．该图形的表面积等于 (9 ? 7 ? 7) 鸫 2 ? 46 个小正方形的面积，所以该图形表面积为 46 平方某某． 21．【取特殊点】长方形 ABCD 的面积为 36， E 、 F 、 G 为各边中点， H 为 AD 边上任意一点，问阴影部分面积是多少？ A (H) D A H D E G E G B F CB F C 【解析】特殊点法．由于 H 为 AD 边上任意一点，找 H 的特殊点，把 H 点与 A 点重合（如左上图），那么阴影部分的面积就是餌AEF 与餌ADG 的面积之和，而这两个三角形的面积分别为长方形 ABCD 面积的 1 和 1 ，所以阴影部分面积为长方形 ABCD 面积的 84 1 ? 1 ? 3 ，为 36 鸫 3 ? 13.5 ． 848 8 22．【共高模型】如图，长方形 ABCD 的面积是 2 平方某某， EC ? 2DE ， F 是 DG 的中点．阴影部分的面积是多少平方某某？ A DA D FE xF E y B G CB xy G C 【解析】如下图，连某某 FC ， DBF 、 BFG 的面积相等，设为 x 平方某某; FGC 、 8 学习改变命运，思考成就未来! 第2讲 DFC 的面积相等，设为 y 平方某某，那么 DEF 的面积为 1 y 平方某某． 3 S BCD ? 2x ? 2y ? 1， S BDE =x+ 1 3 y=l 鸫 1 3 ? 1 3 ．所以有痨x ? 痦痤 3x y ? ? y 0.5 ?1 ① ．比较②、①式，② ② 式左边比①式左边多 2x ，②式右边比①式右边大 0.5，有 2x ? 0.5 ，即 x ? 0.25 , y ? 0.25 ．而阴影部分面积为 y ? 2 y ? 5 鸫 0.25 ? 5 平方某某． 33 12 23．【周长与面积】如图，大长方形的面积是小于 200 的整数，内部有三个边某某为整数的正方形 A、B、C，正方形 B 的边某某是长方形长的 7/16，正方形 C 的边某某是长方形宽的 1/4，那么剩余黑色区域的面积是多少？【解析】如图，长方形长的 16 =宽的 3 ，可求出长与宽的比，再根据面积小于 200 确定面 9 4 积大小，从长方形面积中减去 A、B、C 就是阴影部分面积。长× 9 =宽×3 ，长：宽=4:3 10 4 面积＜200 的整数，所以长=16，宽=12，面积=192 SA =（16 鸫 9 16 ）2 =81 ， SB =（16 鸫 7 16 ）2 =49 SC =（12 鸫 1 4 ）2 =9 S阴影=192-81-19-9=53 。 24．【梯形蝴蝶】如图所示， BD 、 CF 将长方形 ABCD 分成 4 块，餌DEF 的面积是 5 平方某某，餌CED 的面积是 10 平方某某．问：四边形 ABEF 的面积是多少平方某某？ A F D A F D 5 5 E 10 E 10 B C B C 【解析】连某某 BF ，根据梯形模型，可知三角形 BEF 的面积和三角形 DEC 的面积相等，即其面积也是 10 平方某某，再根据蝴蝶定理，三角形 BCE 的面积为10鸫10 鸶 5 ? 20 (平方某某)，所以长方形的面积为 ?20 ?10? 鸫 2 ? 60 (平方某某)．四边形 ABEF 的面积为 60 ? 5 ?10 ? 20 ? 25 (平方某某)． 9 学习改变命运，思考成就未来! 第2讲 25．【面积与重叠】奥运会的会徽是五环图，一个五环图是由内圆直径为 6 厘米，外圆直径为 8 厘米的五个环组成，其中两两相交的小曲边四边形(阴影部分)的面积都相等，已知五个圆环盖住的面积是 77.1平方某某，求每个小曲边四边形的面积．( π ? 3.14 ) 【解析】⑴每个圆环的面积为： π 鸫 42 ? π 鸫 32 ? 7π ? 21.98 (平方某某)； ⑵五个圆环的面积和为： 21.98鸫5 ?109.9 (平方某某)； ⑶八个阴影的面积为：109.9 ? 77.1 ? 32.8 (平方某某)； ⑷每个阴影的面积为： 32.8 鸶 8 ? 4.1(平方某某)． 26．【圆柱体表面积】如图是一个半径为 4 厘米，高某某 4 厘米的圆柱体，在它的中间依次向下挖半径分别为 3 厘米、2 厘米、1 厘米，高某某为 2 厘米、1 厘米、0.5 厘米的圆柱体，则最后得到的立体图形表面积是多少平方某某？【解析】圆柱挖掉 3 个小圆柱，表面积会增 3 个圆柱的侧面积，底面积总和不变。总表面积为：2×3π×2+2×2π×1+2×1π×0.5=12π+4π+1π=17π 27．【等积变形】输液 100 毫升，每分钟输 2.5 毫升．如图，请你观察第 12 分钟时图中的数据，问：整个吊瓶的容积是多少毫升？ 10 学习改变命运，思考成就未来! 第2讲【解析】100 毫升的吊瓶在正放时，液体在 100 毫升线下方，上方是空的，容积是多少不好算．但倒过来后，变成圆柱体，根据标示的格子就可以算出来．由于每分钟输 2.5 毫升，12 分钟已输液 2.5鸫12 ? 30 (毫升)，因此开始输液时液面应与 50 毫升的格线平齐，上面空的部分是 50 毫升的容积．所以整个吊瓶的容积是100 ? 50 ?150 (毫升)． 28．【表面积变化】如图，有一个边某某为 20 厘米的大正方体，分别在它的角上、棱上、面上各挖掉一个大小相同的小立方体后，表面积变为 2454 平方某某，那么挖掉的小立方体的边某某是多少厘米？【解析】大立方体的表面积是 20 鸫 20 鸫 6 ? 2400 平方某某．在角上挖掉一个小正方体后，外面少了 3 个面，但里面又多出 3 个面；在棱上挖掉一个小正方体后，外面少了 2 个面，但里面多出 4 个面；在面上挖掉一个小正方体后，外面少了 1 个面，但里面多出 5 个面．所以，最后的情况是挖掉内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 (d) 【解析】方法一：如图(b)所示，在 ABC 内连某某相邻的三个点成 DEF，再连某某 DC、 EA、FB 后是 ABC 可看成是由 DEF 分别延长 FD、DE、EF 边一倍、一倍、二倍而成的，由等积变换不难得到 S ACD ? 2 ， S AEB ? 3 ， S FBC ? 4 ，所以 S ? 1? 2 ? 3 ? 4 ? 10 (面积单位)．方法二：如图(c)所示，作辅助线把图Ⅰ′、Ⅱ′、Ⅲ′分别移拼到Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的位置，这样可以通过数小正三角形的方法，求出 ABC 的面积为 10．方法三：如图(d)所示：作辅助线可知：平行四边形 ARBE 中有 6 个小正三角形，而 ABE 的面积是平行四边形 ARBE 面积的一半，即 S AEB ? 3 ，平行四边形 ADCH 中有 4 个小正三角形，而 ADC 的面积是平行四边形 ADCH 面积的一半，即 S ACD ? 2 ．平行四边形 FBGC 中有 8 个小正三角形，而 FBC 的面积是平行四边形 FBGC 的一半，即： S FBC ? 4 ．所以 S ?1? 2 ? 3 ? 4 ?10 (面积单位)． 12 [文章尾部最后500字内容到此结束,中间部分内容请查看底下的图片预览]请点击下方选择您需要的文档下载。

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