近世代数学习指导练习题
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陕西师范大学《近世代数》课程学习指导1
一、单项选择题（每小题2分，共16分）
1. 如果， 则（ C ）。
A. B. C. D.
2. 设，则到的映射个数有（ ）。
A. 9 B. 6 C. 12 D. 27
3. 指出下列那些运算是二元运算（ ）。
A．在整数集上， B. 在有理数集上，
C.在正实数集上， D.在集合上，
4. 下面是交换半群，但不是群的是（ ）。
A. B. C. , 其中是非零整数集合 D.
5. 设是群的单位某某，是的两个元素，则（ ）。
A. B. C. 若，则 D.
6.精确到同构, 4阶群有( )个。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
7. 以下命题中，正确的是( )。
A. 任意一个环R，必含有单位某某
B. 环R中至多有一个单位某某
C. 环R有单位某某，则它的子环也有单位某某
D. 一个环与其子环都有单位某某，则两个单位某某一定相同
8.的所有子环是（ ）。
A. B.
C. D.
二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)
1．集合的元间的关系～叫做等价关系，如果～适合 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 ，即； ，有，存在，使得，因此，即，则存在，使得，即，因此。
3.假定是由所有复数是整数)作成的环, 证明: 是一个域.
证明一：由于是有单位某某的可换环,那么理想的元素形式为：
,注意到同奇偶性；反之对任意的,且的奇偶性相同,取,则,因此由一切组成,其中同奇偶性，
即；
由此可见对任意的,只要同奇偶性,恒有；若,且奇偶性不相同,恒有,即,从而是仅含有两个元的域,即.
证明二：由于是有单位某某的可换环,那么理想的元素形式为：
,注意到同奇偶性；反之对任意的,且的奇偶性相同,取,则,因此由一切组成,其中同奇偶性，
即；
下证是的极理.大想。显然，即；设且，即存在，但是，则奇偶性不相同，于是奇偶性相同，所以，故，所以，从而可知是的极理.大想，再由有单位某某的可换环的极理.大想的商某某是一个域可知，是一个域.
4．设有理数域上的全部矩阵环为.证明: 只有零理想与单位理想,但不是一个除环.
证明：设是的一个理想并且,那么含有2阶矩阵.
若的秩是2,那么有逆,而,此时；
若的秩是1,则存在可逆矩阵,使得,又
，因此 ,
因而也有,综上可知只有零理想与单位理想；但,
所以有零因子,因而不是一个除环.
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