620数学分析考试大纲

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硕士研究生招生考试

《数学分析》科目大纲

(科目代码：620)

学院名称(盖章)：数学与***

学院负责人(签字)：

编制时间： 2021年 7 月 2日

《数学分析》科目大纲

(科目代码：620)

一、考核要求

数学分析是数学与应用数学专业的专业基础核心课程，是学生学习分析学系列课程及数学专业其它后继课程的重要基础，也为高观点下深入理解中学数学教学内容所必需。数学分析的主要内容有：极限理论、微分学、积分学及级数理论。数学分析中的极限思想十分重要，它几乎贯穿了数学分析及其它与分析相关的自然学科的始终。数学分析课程的考核，以其基本理论和方法为主，考核学生对从特殊到一般，从具体到抽象的思想方法的掌握情况，考核学生对基础知识的掌握情况，考核学生是否具有严密的

逻辑推理能力，考核学生应用所学知识解决某些实际问题的能力。

二、考核评价目标

数学分析课程重点考核学生对理论基础知识掌握的情况及分析解决某些实际问题能力。通过考核，选拔出具有较好的数学功底的学生来攻读数学学科的硕士研究生。考核评价目标应使录取的研究生具有较扎实与系统的从事基础数学、应用数学以及计算数学等的进一步学习及科研工作所需的数学分析知识。

三、考核内容

极限

实数集与函数

考核不等式、集合、映射、函数、初等函数、领域、上确界、下确界的定义，会进行集合运算和函数的各种表示，能分析函数的有界性、奇偶性、单调性和周期性，熟悉确界原理。

第二节数列极限

考核数列、数列极限的定义、无穷小数列，收敛数列的性质，数列极限的四则运算，单调数列及单调有界定理，Cauchy列及收敛准则。

第三节函数极限

考核函数极限的定义、性质、四则运算、与数列极限的关系，单侧极限、Cauchy收敛原理，两个重要极限，无穷小量与无穷大量及关系。

第四节连续函数

充分领会函数极限、连续的定义、领会函数极限与数列极限的关系和Cauchy收敛原理、一致连续的概念，能应用函数极限、连续的定义分析、论证，能用无穷小量对极限进行分析，区别无穷小量能否进行代换的条件，区分不连续点的类型。

第五节实数基本定理

能综合应用确界定理，单调有界定理，区间套定理进行证明，应用收敛子列定理和Cauchy收敛定理进行基本证明。

第二章一元函数微分学

第一节导数和微分

会应用导数的定义、四则运算法则、反函数的求导法则和复合函数求导法则求导数和高阶导数，能综合应用各种方法求函数的导数

第二节微分中值定理及应用

领会微分中值定理、Taylor公式的深刻意义，能用微分中值定理进行分析、论证，能将函数展开成Taylor多项式和其余项之和，能综合使用Hospital法则及Taylor公式求函数及数列的极限。能综合应用函数的凸性、单调性（利用导数）及中值定理分析和解决问题。

第三章一元函数积分学

第一节积分的计算、性质及应用

综合应用各种方法，（包括定义、基本公式、线性性质、换元积分法、分部积分法）能计算出一般函数的积分；重点掌握定积分的概念，Darboux和概念等；掌握可积的充要条件，可积函数类，定积分的性质，微积分基本定理和求面积、弧长、体积和侧面积，了解微元法及其应用。

第二节反常积分

掌握反常积分敛散性的定义，奇点，了解Cauchy主值和反常积分收敛的关系，掌握一些重要的反常积分收敛和发散的例子，理解并掌握绝对收敛和条件收敛的概念并能用反常积分的Cauchy收敛原理、非负函数反常积分的比较判别内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。微分形式的外微分及其应用。

第三节含参变量积分

熟练掌握含参变量的常义积分的定义及分析性质；熟练掌握含参变量的反常积分的一致收敛的判别法及一致收敛积分的分析性质；掌握Beta函数和Gamma函数的性质、递推公式及二者之间的关系。

参考书目：

1. 华东师范大学数学系编，《数学分析》（上，下），高等教育出版社，2001年（第三版））。

2. 陈某某，於崇华，金某某，《数学分析》（上，下），高等教育出版社，2000年（第一版）。

3. 裴某某，《数学分析中的典型问题与方法》，高等教育出版社，2006年（第二版）。

4. 刘某某，于力，李某某，《数学分析选讲》，科学出版社，2007年（第一版）。

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