复数代数形式的四则运算基础 教师版
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考点一 复数的运算 2
考点二 复数的模 5
课后综合巩固练习 7
考点一 复数的运算
1．复数的加法与减法
⑴加法：设，，，定义．
复数的加法运算满足交换律、结合律．
⑵相反数：已知复数，存在惟一的复数，使，叫做的相反数．．在复平面内，互为相反数的两个复数关于原点对称．
⑶复数的减法法则：，
⑷复数加法的几何意义：复数加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则．
2．复数的乘法
设，，、、、，定义．
复数的乘法运算满足交换律、结合律和乘法对加法的分配律，
一个复数与其共轭复数的乘积等于这个复数（或其共轭复数）模的平方．
复数的乘方也就是相同复数的乘积．实数范围内正整数指数幂的运算律在复数范围内仍然成立，即对复数、、和自然数、/，有，，．
在复数的乘方运算中，要记住以下结果：
，，，；，，，．
记，
则，，，，，
3．复数的除法
已知，如果存在一个复数，使，则叫做的倒数，记作．
．
两个复数除法的运算法则如下：
．
1．（XX期末）设，复数在复平面内对应的点位于实轴上，又函数，若曲线与直线有且只有一个公共点，则实数的取值范围为
A． B．，
C．， D．，，
【分析】由已知求得，得到，利用导数研究单调性及过的切线的斜率，再画出图形，数形结合可得实数的取值范围．
【解答】解：在复平面内对应的点位于实轴上，
，即．
则，，
又当时，，
作出函数的图象如图：
直线过，
设切点为，，
则在切点处的切线方程为，
把代入，可得，即，即．
则，．
而，
由图可知，当，，即，时，曲线与直线有且只有一个公共点，
综上可得，当，时，曲线与直线有且只有一个公共点．
故选：．
/
【点评】本题考查复数的基本概念，考查函数零点的判定，训练了利用导数研究函数的单调性，是中档题．
2．（XX一模）复数、满足，，则
A．1 B． C． D．
【分析】，由，设，，可得，，即可得出．
【解答】解：，
由，设，，
，，
，，，
，，
则．
故选：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
3．设，如果，则满足条件的集合有
A．8个 B．7个 C．3个 D．无穷多个
【分析】首先由复数代数形式的乘除运算化简，然后根据虚数单位的幂运算性质分类讨论，求出中的元素，则答案可求
【解答】解：（1），，
根据虚数单位的幂运算性质有：，，
有三个不同的值，即，0，2，是，它的一个子集．
，，，，，，，，，2，0，，．
则满足条件的集合有8个
故选：．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了分类讨论的思想方法，是中档题．
考点二 复数的模
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b=0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a=0，b≠0，则a+bi为纯虚数． 2、复数相等：a+bi=c+di?a=c，b=d（a，b，c，d∈R）． 3、共轭复数：a+bi与c+di共轭?a=c，b+d=0（a，b，c，d∈R）． 4、复数的模：
的长度叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=
1．（广 内容过长，仅展示头部和尾部部分文字预览，全文请查看图片预览。 是虚数单位），则的最大值为 6 ．
【分析】利用复数的几何意义，转化求解即可．
【解答】解：复数满足是虚数单位），复数表示，复平面上的点到的距离为1的圆．
的几何意义是圆上的点与的距离，
所以最大值为：．
故答案为：6．
【点评】本题考查复数的几何意义，复数的模的求法，考查转化思想以及计算能力．
6．（XX区一模）已知复数满足，则的范围是 ， ．
【分析】由题意可得，令，，可得，则的范围可求．
【解答】解：，且，
，即，
令，，
则，
，．
故答案为：．
【点评】本题考查复数模的求法，考查圆的参数方程及三角函数的最值，是中档题．
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